- •Системи числення
- •Недоліком ддк цієї кодової групи є штучний порядок ваг, що утрудняє виконання арифметичних операцій.
- •1.2. Системи числення спеціального призначення
- •1.4. Системи числення з ірраціональними основами
- •1.5. Питання для самоконтролю
- •1.6. Завдання для практичної роботи
- •1.7. Завдання для індивідуального виконання
1.2. Системи числення спеціального призначення
Перевагою позиційних систем числення, спеціально створених для спрощення або прискорення обчислень на ЕОМ, є простота алгоритмів виконання деяких арифметичних операцій, а недоліком – необхідність переведення із класичних систем числення в спеціальні. Системи числення спеціального призначення застосовують для реалізації деяких обчислювальних процесів, в яких, наприклад, немає потреби змінювати систему числення при введені і виведенні даних.
Наприклад, позиційні системи числення з від’ємною основою дають можливість подати без знака будь-яке дійсне число, додатне або від’ємне. Однією із найбільш цікавих є урівноважена трійкова система числення, тобто система з основою 3 і цифрами: –1, 0, +1 ( –1 часто позначають як ). Приклади запису чисел в цій системі:
;
;
.
Переваги урівноваженої трійкової системи:
знак числа задається найбільш значущою (старшою) ненульовою цифрою;
перехід до числа з протилежним знаком здійснюється заміною всіх 1 на і навпаки;
операція округлення до найближчого цілого зводиться до відкидання дробової частини.
Знаходження суми в цій системі числення дуже просте, якщо врахувати, що . Віднімання зводиться до переходу до числа, протилежного за знаком, з наступним додаванням. Правила множення на 1 звичайні, а при множенні на знак часткового добутку змінюється на протилежний.
Приклад. Перемножити числа і , заданих в урівноваженій трійковій системі числення:
1.3. Символічні системи числення
Як відомо, позиційні системи числення мають чіткі міжрозрядні зв’язки. Цю їх властивість можна вважати як перевагу, так як це забезпечує простоту виконання арифметичних операцій, і разом з тим як недолік, оскільки ця властивість із-за наявності міжрозрядних переносів призводить до обмеження технічної швидкості виконання арифметичних операцій. Тому розробка непозиційних систем числення, в яких відсутні міжрозрядні зв’язки і просто здійснюються арифметичні операції, дали би можливість підвищити швидкість виконання останніх.
В символічних системах, на відміну від позиційних, цифри є символами, кожний із яких окремо жодним чином не характеризує яке-небудь число. Певним комбінаціям цифр умовно поставлені у відповідність певні числа. Прикладом символічної системи числення є система подання чисел через залишки або система залишкових класів (СЗК).
Якщо цілим числам А і В відповідає один і той же залишок ділення на третє число S, то числа А і В називаються рівними за , що виражається записом . Число в СЗК зображається у вигляді залишків від ділення заданого числа на ряд взаємно простих чисел . При цьому утворюється число із вагами розрядів, відповідно рівними , тобто , де і , де – ціла частина х. Таким чином .
В табл. 1.8 наведено трирозрядні числа для перших п’ятнадцяти десяткових чисел, які подано в СЗК з вагами розрядів, які відповідно дорівнюють .
Таблиця 1.8
Десяткова |
|
СЗК |
|
Десяткова |
|
СЗК |
|
система |
a1 |
a2 |
a3 |
система |
a1 |
a2 |
a3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
8 |
0 |
2 |
3 |
1 |
1 |
1 |
1 |
9 |
1 |
0 |
4 |
2 |
0 |
2 |
2 |
10 |
0 |
1 |
0 |
3 |
1 |
0 |
3 |
11 |
1 |
2 |
1 |
4 |
0 |
1 |
4 |
12 |
0 |
0 |
2 |
5 |
1 |
2 |
0 |
13 |
1 |
1 |
3 |
6 |
0 |
0 |
1 |
14 |
0 |
2 |
4 |
7 |
1 |
1 |
2 |
15 |
1 |
0 |
0 |
У СЗК операції додавання, віднімання та множення є порозрядними, що, без сумніву, є перевагою СЗК.
СЗК застосовується у спеціалізованих ЕОМ, в яких діапазон вихідних чисел і проміжні результати строго фіксовані і операція ділення практично відсутня.