12

министерство сельского хозяйства российской федерации

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра статистики и информационных систем в экономике

ЕН.Ф.01.02 ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ

Лабораторное занятие № 2. Графический метод решения задач линейного программирования

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Направление подготовки дипломированного специалиста

080500 Менеджмент

Специальность 080502 Экономика и управление на предприятии

(в аграрном производстве)

Уфа 2010

УДК 519.86

ББК 65.23

Л 12

Рекомендовано к изданию методической комиссией экономического факультета

(протокол № 3 от_25 ноября 2010 г.)

Составитель: доцент Шатова В.С.

Рецензент: ст. преподаватель кафедры организации аграрного производства Бикметова Р.Г.

Ответственный за выпуск:

зав. кафедрой статистики и информационных систем в экономике

д.э.н., профессор Рафикова Н.Т.

г. Уфа, БГАУ, кафедра статистики и информационных систем в экономике

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

1 Цель и задачи…………………………………………………………… 4

2 Методика решения задачи линейного программирования

графическим методом……… ………….………………………………4

2.1 Построение области допустимых решений задачи……..……… 5

2. Построение целевой функции…………………………………. . 6

3. Нахождение оптимального решения……………………………..7

3 Вопросы для самоконтроля…………………………………………….…8

4 Задания для самостоятельной работы………………………….………9

Библиографический список………………………………………………12

ВВЕДЕНИЕ

Графическим методом можно решать задачи линейного программирования, имеющие не более двух переменных (на плоскости). В случае трех переменных графический метод становится менее наглядным, а при большем числе переменных – невозможным. Основным достоинством графического метода является то, что он позволяет выявить свойства решаемой задачи и наглядно их отобразить.

1. Цель и задачи Цель: Освоить методику решения задач линейного программирования графическим методом.

Задачи: 1. Усвоить правила построения графического решения задачи линейного программирования.

2. Научиться определять область допустимых решений ЗЛП.

3. Научиться различать и оценивать зависимость между областью определения задачи и ее решением.

4. Решать задачи графическим методом с различными исходами.

5. Проводить анализ полученного решения.

2 Методика решения задачи линейного программирования графическим методом

Решить графическим методом задачу линейного программирования с двумя переменными:

Z = Х₁ - 3Х₂ => min (1)

10X₁ + 3X₂ > 30

-X₁ + X₂ < 3

X₁ - X₂ < 4 (2)

X₁ + X₂ < 10

X₁ > 0, X₂ > 0 (3)

Последовательность решения задачи.

2.1 Построение области допустимых решений задачи

Для этого:

- отобразить в прямоугольной системе координат условия неотрицательности переменных (3). В двумерном пространстве уравнению соответствует прямая, а неравенству – полуплоскость, лежащая по одну сторону от прямой. Построим прямые Х₁ = 0, Х₂ = 0, которые лежаи на границах полуплоскостей и совпадают с осями координат. Полуплоскости Х₁ > 0, X₂ > 0 лежат соответственно справа от оси ОХ₂ и выше оси ОХ_1. Множество точек, удовлетворяющих одновременно неравенствам Х₁ > 0 и X₂ > 0, представляет собой пересечение построенных полуплоскостей вместе с граничными прямыми и совпадают с точками первой четверти;

- построить ограничения задачи (2). Для этого построить по порядку прямые (рис.1):

10X₁ + 3X₂ = 30 (1)

-X₁ + X₂ = 3 (2)

X₁ - X₂ = 4 (3)

X₁ + X₂ = 10 (4)

Рис.1. Графическое решение задачи

- установить, с какой стороны от этих прямых лежат полуплоскости, точки которых удовлетворяют строгим неравенствам:

10X₁ + 3X₂ > 30 (1)

-X₁ + X₂ < 3 (2)

X₁ - X₂ < 4 (3)

X₁ + X₂ < 10 (4)

Сторона, в которой располагается полуплоскость от прямой, указывается стрелкой. Убедиться в том, с какой стороны от прямой лежит полуплоскость, точки которой удовлетворяют заданному неравенству, можно путем подстановки координат точек одной или другой полуплоскости в неравенство. Когда прямая, ограничивающая полуплоскость, не проходит через начало координат, удобнее всего подставлять точку с координатами (0, 0). Если координаты точки удовлетворяют неравенству, то эта точка лежит в полуплоскости, соответствующей данному неравенству. В противном случае неравенству будет соответствовать другая полуплоскость;

- определить область определения задачи. Она будет представлять собой пересечение всех построенных полуплоскостей. В данном случае – это пятиугольник АВСDЕ. Каждая точка этого многоугольника, включая и точки, лежащие на его границах, будет удовлетворять ограничениям задачи.