МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ОДЕСЬКИЙ ТЕХНІЧНИЙ КОЛЕДЖ

ОДЕСЬКОЇ НАЦІОНАЛЬНОЇ АКАДЕМІЇ ХАРЧОВИХ ТЕХНОЛОГІЙ

ЗАТВЕРДЖУЮ: Заст. директора з НР __________ В.І. Уманська «___» ____________ 2012 р.

НАВЧАЛЬНО-ПРАКТИЧНИЙ КОМПЛЕКС

З предмету

“ВИЩА МАТЕМАТИКА”

для студентів-бакалаврів заочної форми навчання спеціальностей

6.051701 «Харчові технології та інженерія»

6.050604 «Енергомашинобудування»

6.050102 «Комп’ютерна інженерія»

6.030504 «Економіка підприємства»

Частина №1

Розглянуто

На засіданні циклової комісії

Фізико-математичних дисциплін

Протокол № ______________

Від «____» _________ 2012 р.

Голова циклової комісії _____________ Качан Т.В.

Одеса – 2012

НАВЧАЛЬНО-ТЕМАТИЧНИЙ ПЛАН

	№ п/п
РОЗДІЛ 1. Лінійна алгебра.
1. 2. 3. 4. 5.	Загальні поняття про систему лінійних рівнянь. Матриці. Види матриць. Дії з матрицями. Визначники матриць. Обернена матриця. Матричні рівняння. Способи розв’язання систем лінійних рівнянь.
РОЗДІЛ 2. Векторна алгебра та аналітична геометрія.
6 7 8	Вектори та координати. Пряма лінія на площині. Криві другого порядку.
РОЗДІЛ 3. Комплексні числа.
9. 10. 11. 12.	Комплексні числа та операції над ними. Розв’язок квадратних рівнянь з дійсними коефіцієнтами. Геометрична інтерпретація та тригонометрична форма комплексного числа. Показникова форма комплексного числа.
РОЗДІЛ 4. Вступ до математичного аналізу.
13. 14. 15. 16.	Функції однієї змінної та способи їх задання. Границя числової послідовності. Границя функції. Неперервність функції в точці і на відрізку.
РОЗДІЛ 5. Диференціальне числення функцій однієї змінної.
17. 18. 19. 20. 21.	Похідна функції. Знаходження похідних першого порядку. Похідні вищих порядків. Диференціал функції однієї змінної. Застосування похідної. Побудова графіка функції.
РОЗДІЛ 6. Інтегральне числення функцій однієї змінної.
22. 23. 24.	Невизначений інтеграл. Визначений інтеграл. Деякі застосування визначеного інтеграла.
РОЗДІЛ 7. Звичайні диференціальні рівняння.
25. 26. 27. 28.	Диференціальні рівняння першого порядку. Диференціальні рівняння вищих порядків, які допускають пониження порядку. Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків. Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами.
РОЗДІЛ 8. Ряди.
29. 30. 31.	Числові ряди. Функціональні ряди. Ряди Фур’є.

ПРОГРАМА ВИВЧЕННЯ ДИСЦИПЛІНИ “ВИЩА МАТЕМАТИКА”

Розділ 1. Лінійна алгебра.

Тема 1. Загальні поняття про систему лінійних рівнянь.

Система m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими. Невідомі змінні, коефіцієнти при невідомих, вільні члени системи. Розв’язок системи. Сумісні, несумісні, визначені, невизначені, однорідні, неоднорідні системи. Еквівалентні (рівносильні) системи, елементарні перетворення для систем.

Тема 2. Матриці, види матриць, дії з матрицями.

Поняття прямокутної матриці, основна та розширена матриці системи лінійних рівнянь. Елементи матриці, рядки і стовпчики матриці. Головна та побічна діагоналі матриці.

Квадратна, симетрична, діагональна, одинична матриці. Операція транспонування матриць. Рівність матриць.

Найпростіші дії з матрицями: додавання матриць одного розміру, добуток матриці на число, добуток двох матриць. Властивості дій з матрицями.

Тема 3. Визначники матриць.

Обчислення визначників 2-го, 3-го, n-го порядків. Мінор та алгебраїчне доповнення елемента матриці. Властивості визначників.

Тема 4. Обернена матриця, матричні рівняння.

Обернена матриця. Вироджені та невироджені матриці. Знаходження оберненої матриці. Матричні рівняння.

Тема 5. Способи розв’язання систем лінійних рівнянь.

Метод Крамера. Матричний метод (за допомогою оберненої матриці). Метод Гаусса.

Розділ 2. Векторна алгебра та аналітична геометрія.

Тема 6. Вектори та координати.

Скалярні та векторні величини. Лінійні операції над векторами. Скалярний добуток векторів. Векторний базис на площині та у просторі.

Системи координат на площині та у просторі. Операції над векторами, що задані своїми координатами.

Відстань між двома точками. Ділення відрізка у даному відношенні.

Перетворення прямокутних координат.

Тема 7. Пряма лінія на площині.

Рівняння лінії на площині. Канонічне та параметричне рівняння прямої. Рівняння прямої, що проходить через задану точку перпендикулярно заданому вектору. Загальне рівняння прямої.

Інші форми рівняння прямої на площині. Дослідження взаємного розташування двох прямих. Обчислення кута між прямими.

Тема 8. Криві другого порядку.

Коло. Еліпс. Гіпербола. Парабола.

Розділ 3. Комплексні числа.

Тема 9. Комплексні числа та операції над ними.

Вступні зауваження відносно подальшого розповсюдження поняття числа. Визначення комплексних чисел. Додавання та множення комплексних чисел. Дійсні числа як частинний випадок комплексних. Алгебраїчна форма комплексного числа. Віднімання та ділення комплексних чисел.

Тема 10. Розв’язок квадратних рівнянь з дійсними коефіцієнтами.

Розв’язок квадратних рівнянь з дійсними коефіцієнтами. Формули та деякі окремі випадки.

Тема 11. Геометрична інтерпретація та тригонометрична форма комплексного числа.

Геометрична інтерпретація комплексних чисел. Геометричне зображення суми комплексних чисел. Геометричне зображення різниці комплексних чисел. Модуль комплексного числа. Аргумент комплексного числа. Тригонометрична форма комплексного числа. Дії над комплексними числами заданими у тригонометричній формі.

Тема 12. Показникова форма комплексного числа.

Формула Ейлера. Показникова форма комплексного числа. Дії над комплексними числами заданими у показниковій формі.

Розділ 4. Вступ до математичного аналізу.

Тема 13. Функції однієї змінної та способи їх задання.

Змінні та сталі величини. Визначення функції однієї змінної. Способи задання функції: табличний, графічний, аналітичний. Область визначення та область значень функції. Деякі властивості функцій. Обернена функція. Функція, що задана в неявному вигляді. Складна функція. Основні елементарні функції та їх графіки.

Тема 14. Границя числової послідовності.

Поняття числової послідовності. Границя числової послідовності, геометрична інтерпретація. Збіжні та розбіжні послідовності. Загальні властивості збіжних послідовностей: теорема про єдину границю, необхідна умова збіжності послідовностей.

Нескінченно мала величина та її властивості. Нескінченно велика величина. Зв’язок між нескінченно малою та нескінченно великою величинами.

Граничний перехід при арифметичних операціях. Теореми для знаходження границь послідовностей.

Тема 15. Границя функції.

Визначення границі функції. Правосторонні та лівосторонні границі функції. Теорема про існування границі функції. Розкриття невизначених виразів типу , , для алгебраїчних функцій. Перша особлива границя. Число е. Друга особлива границя.

Тема 16. Неперервність функції в точці і на відрізку.

Різні означення неперервності функції в точці. Властивості неперервних функцій. Теорема Коші. Теорема Вейерштраса. Класифікація точок розриву функції.

Розділ 5. Диференціальне числення функцій однієї змінної.

Тема 17. Похідна функції.

Означення похідної функції. Поняття диференційованої функції. Деякі задачі, що привели до поняття похідної (геометричний, механічний, економічний зміст похідної). Зв’язок між неперервністю та диференційованістю функції.

Тема 18. Знаходження похідних першого порядку.

Основні правила диференціювання. Таблиця похідних основних елементарних функцій. Похідна складної, неявної та оберненої функції.

Тема 19. Похідні вищих порядків.

Похідні вищих порядків, їх позначення та обчислення.

Тема 20. Диференціал функції однієї змінної.

Означення диференціала функції. Правила знаходження диференціала.

Тема 21. Застосування похідної. Побудова графіка функції.

Правило Лопіталя. Необхідні і достатні умови зростання, спадання, екстремуму функції. Найбільше та найменше значення функції на відрізку. Опуклість та угнутість графіка функції. Точки перегину. Асимптоти кривої. Загальна схема (алгоритм) дослідження функції та побудови її графіка.

Розділ 6. Інтегральне числення функцій однієї змінної.

Тема 22. Невизначений інтеграл.

Первісна. Невизначений інтеграл. Виділення інтегральної кривої, що проходить через дану точку. Основні формули інтегрування. Методи інтегрування: безпосереднє інтегрування та метод підстановки.

Тема 23. Визначений інтеграл.

Задачі, що приводять до поняття визначеного інтегралу. Визначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца. Геометричний зміст визначеного інтеграла. Визначений інтеграл як границя суми. Основні властивості визначеного інтеграла. Обчислення визначеного інтеграла методом підстановки.

Тема 24. Деякі застосування визначеного інтеграла.

Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур, об’ємів тіл за площами перерізів, об’ємів тіл обертання.

Розділ 7. Звичайні диференціальні рівняння.

Тема 25. Диференціальні рівняння першого порядку.

Задачі, що приводять до диференціальних рівнянь.

Поняття про сукупність розв’язків, загальний та частинний розв’язки диференціального рівняння. Задача Коші. Теорема Коші.

Диференціальні рівняння з роздільними змінними. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.

Тема 26. Диференціальні рівняння вищих порядків, які допускають пониження порядку.

Диференціальні рівняння другого порядку.

Тема 27. Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків.

Визначення та деякі властивості лінійних диференціальних рівнянь другого порядку.

Тема 28. Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами.

Розв’язування лінійних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами. Диференціальні рівняння у економіці, науці та техніці.

Розділ 8. Ряди.

Тема 29. Числові ряди.

Числові ряди, основні поняття та властивості. Ознаки збіжності рядів з невід’ємними членами. Знакопочережні ряди.

Тема 30. Функціональні ряди.

Функціональні та степеневі ряди. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Приклади практичного застосування степеневих рядів.

Тема 31. Ряди Фур’є.

Розклад функції у тригонометричний ряд Фур’є. Застосування рядів Фур’є.

Питання для самоперевірки.

1. Дати означення матриці та її розміру. Які існують різновиди матриць?

2. Які елементи утворюють головну та неголовну діагоналі матриці?

3. За якими правилами матрицю помножають на дійсне число, знаходять алгебраїчну суму матриць, добуток матриць?

4. Чи завжди добуток матриць має властивість комутативності?

5. За якими правилами обчислюють визначники 2, 3 та n-го порядків?

6. Як визначають і знаходять мінор та алгебраїчне доповнення елемента а_ij матриці А?

7. Сформулюйте властивості визначника.

8. Як визначають та позначають матрицю обернену до матриці А?

9. При яких умовах існує обернена матриця?

10. Які ви знаєте способи знаходження оберненої матриці?

11. Дайте визначення векторної та скалярної величини.

12. Які векторі називаються колінеарними та компланарними?

13. Сформулюйте правила додавання та віднімання векторів, множення вектора на число.

14. Що називають скалярним та векторним добутком векторів?

15. Запишіть формулу знаходження відстані між двома точками.

16. Запишіть формулу ділення відрізка у даному відношенні.

17. Що називається рівнянням лінії? Запишіть загальний вигляд канонічного та параметричного рівнянь прямої.

18. Який вигляд має рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярну даному вектору?

19. Запишіть загальне рівняння прямої. Які його частинні випадки вам відомі?

20. Запишіть формулу обчислення кута між прямими.

21. Як визначається лінії другого порядку? Що називається колом?

22. Запишіть канонічне рівняння еліпса, що таке ексцентриситет, фокуси еліпса?

23. Запишіть канонічне рівняння гіперболи, як визначається асимптоти гіперболи? Що таке ексцентриситет гіперболи?

24. Запишіть канонічне рівняння параболи? Що таке директриси?

25. Дайте визначення комплексного числа.

26. Як відбуваються дії над комплексними числами у алгебраїчній формі?

27. Дайте геометричну інтерпретацію комплексних чисел.

28. Як відбуваються дії над комплексними числами у тригонометричній формі?

29. Запишіть формулу Ейлера. Як відбуваються дії над комплексними числами у показниковій формі?

30. Які величини називають сталими, а які змінними?

31. Назвіть способи задання функцій.

32. Що таке область визначення та область значення функції?

33. Побудуйте ескізи графіків основних елементарних функцій.

34. Який існує зв’язок між нескінченно малою та нескінченно великою величиною?

35. Дати означення границі послідовності та границі функції.

36. Яка геометрична інтерпретація означення границі послідовності?

37. Назвіть деякі методи розкриття невизначеностей типу , , для алгебраїчних функцій.

38. Наведіть першу і другу особливі границі. Які їх наслідки?

39. Як визначають число е? Де його застосовують?

40. Поясніть, що таке приріст аргументу та функції?

41. Дайте визначення неперервності функції в точці і на відрізку.

42. Які існують розриви функції?

43. Чим відрізняється ліквідовний розрив від неліквідовного?

44. Який геометричний, механічний, економічний зміст має похідна функція?

45. Дати визначення похідної функції.

46. Які існують правила знаходження похідної функції?

47. Як знайти похідну складної функції?

48. Як знайти похідну другого, третього та вищих порядків?

49. Що таке диференціал функції?

50. Які правила знаходження диференціала функції?

51. Сформулюйте правило Лопіталя.

52. Як знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку?

53. Як визначити інтервали монотонності функції?

54. Як знайти максимум і мінімум функції?

55. Які необхідні та достатні умови існування екстремуму функції?

56. Назвіть необхідні і достатні умови точки перегину функції?

57. Які ознаки опуклості та угнутості кривої?

58. Яка пряма називається асимптотою кривої?

59. Наведіть загальну схему дослідження функції і побудови її графіка.

60. Дайте означення первісної.

61. Дайте означення невизначеного інтегралу. Запишіть основні формули інтегрування.

62. У чому полягає безпосереднє інтегрування та метод підстановки?

63. Що таке визначений інтеграл? У чому полягає його геометричний зміст?

64. Запишіть формулу Ньютона-Лейбніца та сформулюйте основні властивості визначеного інтеграла.

65. Які ви знаєте застосування визначеного інтегралу?

66. Які рівняння називаються диференціальними? У чому полягає задача Коші?

67. Сформулюйте теорему Коші. Метод розв’язування диференціальних рівнянь з роздільними змінними.

68. Як розв’язується диференціальне рівняння другого порядку?

69. Дайте означення числових рядів та сформулюйте їх основні властивості.

70. Що таке інтервал та радіус збіжності? Сформулюйте ознаку збіжності рядів з невід’ємними членами.

71. Які ряди називаються функціональними?

72. Запишіть формулу розкладу у ряд Тейлора та ряд Маклорена.

73. Як розкладається функція у тригонометричний ряд Фур’є?

Питання для перевірки знань і умінь в процесі іспиту.

Розділ 1. Лінійна алгебра.

1. Загальні поняття про систему лінійних рівнянь.

2. Матриці, види матриць, дії з матрицями.

3. Визначники матриць. Властивості визначників. Обчислення визначників.

4. Обернена матриця, матричні рівняння.

5. Розв’язання систем лінійних рівнянь за правилом Крамера та за методом Гаусса.

Розділ 2. Векторна алгебра та аналітична геометрія.

1. Вектори, їх основні характеристики. Дії з векторами.

2. Лінійно залежні та лінійно-незалежні вектори. Розклад вектора за базисом.

3. Предмет аналітичної геометрії. Знаходження відстані між точками. Ділення відрізка у заданому відношенні.

4. Різновиди рівняння прямої на площині.

5. Паралельність, перпендикулярність прямих на площині, кут між прямими.

6. Криві лінії другого порядку. Рівняння кола.

7. Рівняння еліпса, гіперболи та параболи. Характеристики цих кривих.

Розділ 3. Комплексні числа.

1. Комплексні числа та операції над ними.

2. Розв’язок квадратних рівнянь з дійсними коефіцієнтами.

3. Геометрична інтерпретація та тригонометрична форма комплексного числа.

4. Показникова форма комплексного числа.

Розділ 4. Вступ до математичного аналізу.

1. Функції та способи їх задання. Властивості функцій.

2. Основні елементарні функції.

3. Нескінченно малі та нескінченно великі величини. Поняття границі функції. Чудові границі.

4. Неперервні функції та дії з ними. Класифікація розривів функції.

Розділ 5. Диференціальне числення функцій однієї змінної.

1. Похідна та диференціал. Знаходження похідних першого порядку.

2. Похідні вищих порядків Оптимізація та побудова графіка функції.

3. Приклади економічного застосування похідної.

Розділ 6. Інтегральне числення функцій однієї змінної.

1. Невизначений інтеграл та його властивості.

2. Таблиця основних інтегралів та основні правила інтегрування.

3. Метод безпосереднього інтегрування.

4. Метод підстановки при інтегруванні.

5. Означення та властивості визначеного інтеграла.

6. Обчислення визначених інтегралів.

7. Застосування визначених інтегралів.

Розділ 7. Звичайні диференціальні рівняння.

8. Диференціальні рівняння. Основні поняття.

9. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними.

10. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку.

11. Рівняння лінійні та Бернуллі.

12. Диференціальні рівняння другого порядку.

Розділ 8. Ряди.

13. Числові ряди. Загальні поняття та основні властивості.

14. Необхідна ознака збіжності числового ряду.

15. Достатні ознаки збіжності додатних числових рядів.

16. Знакопочережні числові ряди.

17. Степеневі ряди. Радіус, інтервал та область збіжності.

18. Розклад функції у степеневий ряд.