- •Інститут економіки та нових технологій Кафедра прикладної математики та математичного моделювання
- •Передмова
- •І. Основні питання, що вивчаються в розділі „Функції багатьох змінних ”
- •Поняття функції багатьох змінних.
- •1.3. Послідовності точок в .
- •1.4. Означення функції багатьох змінних.
- •9.2. Найбільше та найменше значення функції в замкненій області. Іі. Основні теоретичні відомості. Приклади розв’язання задач
- •1. Поняття функції багатьох змінних
- •1.1. Евклідовий простір ( )
- •1.2. Множини точок в ( ).
- •1.3. Послідовності точок в ( )
- •Теорема 1
- •1.4. Означення функції багатьох змінних
- •Приклад 4
- •Розв’язання
- •Приклад 5
- •Розв’язання
- •3. Границя та неперервність функцій багатьох змінних
- •3.1. Границя функцій багатьох змінних
- •2.2. Неперервність функції багатьох змінних
- •Теорема 3
- •Теорема 4
- •3. Частинні похідні функції багатьох змінних
- •Приклади 10-11
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Приклад 12
- •Розв’язання
- •4. Диференціал функції та його використання
- •Теорема 5
- •Приклад 13
- •Розв’язання
- •Приклад 14
- •Розв’язання
- •5. Диференціювання неявних функцій
- •6. Похідна за напрямом. Градієнт
- •Якщо використати теорему Лагранжа, то неважко показати, що (24)
- •Приклад 15
- •Розв’язання
- •7. Частинні похідні вищих порядків
- •Приклад 16
- •Розв’язання
- •8. Застосування частинних похідних в економічних задачах
- •9. Екстремум функції багатьох змінних
- •9.1. Локальний екстремум функції багатьох змінних
- •Теорема 6
- •Приклади 17-18
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Має максимум, якщо або
- •Має мінімум, якщо або
- •Не має екстремуму, якщо
- •9.2. Найбільше та найменше значення функції в замкненій області
- •Приклад 21
- •Розв’язання
- •Ііі. Завдання для контрольної роботи. Завдання 1
- •Варіанти завдань:
- •Завдання 2.
- •Варіанти завдань:
- •Іv. Список використаної та рекомендованої літератури
Теорема 6
Нехай точка – точка екстремуму диференці-йованої функції Тоді частинні похідні в цій точці дорівнюють нулеві.
Означення 26. Точки в яких та дорівнюють нулеві називаються стаціонарними (або критичними).
Враховуючи, що частинні похідні є координатами градієнта функції Z, можна сказати, що в точках екстремуму диференційованої функції її градієнт дорівнює нулеві, тобто
Приклади 17-18
Дослідити на екстремум функції.
17.
Розв’язання
Знайдемо частинні похідні і прирівняємо їх до нуля:
.
Звідки Оскільки то в стаціонарній точці буде досягатись мінімум функції, як це видно із рис. 5.
Рис. 5
18.
Розв’язання
Із необхідних умов екстремуму знайдемо критичну точку . Але критична точка не є ні точкою максимуму ні точкою мінімуму, тому що в точці функція набуває вигляду а при і в околі точки поверхня сильно відрізняється за своїм виглядом від “шапочки” та перевернутої “шапочки”. У критичній точці ніякого екстремуму немає, ця точка називається сідловою, а поверхня функції – сідловою поверхнею. Такі сідлові точки є двовимірними аналогами точок перегину функції однієї змінної і для того, щоб відділити їх від точок екстремуму теж потрібні достатні умови екстремуму. Достатні умови екстремуму функцій двох змінних сформулюємо в термінах других частинних похідних.
Теорема 7
(достатні умови екстремуму функцій двох змінних)
Нехай в околі критичної точки функція має неперервні частинні похідні до другого порядку включно,
.
тоді:
Має максимум, якщо або
Має мінімум, якщо або
Не має екстремуму, якщо
Якщо тоді екстремум в точці може існувати, а може і не існувати і для його визначення потрібно використовувати іншу ознаку.
Приклади 19-20
Дослідити на екстремум такі функції.
19. .
Розв’язання
Знайдемо критичні точки, обчисливши частинні похідні Критична точка . Запишемо достатні умови екстремуму: Тоді . Таким чином функція екстремуму в точці (0,0) не має.
20. .
Розв’язання
Спочатку знайдемо критичну точку із системи:
=> =>
Тоді . Запишемо достатні умови екстремуму:
.
Таким чином у точці функція має мінімум.
9.2. Найбільше та найменше значення функції в замкненій області
Теорема 8. Якщо функція неперервна в замкненій області , то вона приймає свої найбільше та найменше значення в точках області .
Згідно цієї теореми потрібно знайти точки екстремуму функції , що лежить всередині , екстремальні значення функції в цих точках, значення функції на границі і вибрати серед них відповідно найбільше та найменше значення.
Приклад 21
Знайти найбільше та найменше значення функції в області обмеженій лініями , що являє собою чотирикутник.
Розв’язання
Знайдемо критичні точки всередині області, записавши необхідні умови екстремуму:
Таким чином, критична точка В ній
Дослідимо тепер функцію на екстремум на границі чотирикутника:
а) б) в) г) Відмітимо, що у випадках а), б), в), г) вершини чотирикутника враховуються лише один раз.
а) У цьому випадку Z буде функцією однієї змінної y, тому маємо Дослідимо цю функцію на екстремум на замкненому відрізку Знайдемо , звідки , Отже, і в ній Знайдемо значення функції на кінцях проміжку тобто в точках та ,
б) Аналогічно попередньому досліджуємо на екстремум функцію на проміжку Тому , і критична точка нe належить проміжку , тобто В кінці проміжку в точці знайдемо
в) Аналогічно випадку б) , і тому , Точка , на кінці проміжку в точці маємо
г) У цьому випадку і тому маємо . Критична точка Отже
Виберемо тепер серед точок ті, в яких функція приймає найбільше та найменше значення. Це будуть точки та , в яких