- •Інститут економіки та нових технологій Кафедра прикладної математики та математичного моделювання
- •Передмова
- •І. Основні питання, що вивчаються в розділі „Функції багатьох змінних ”
- •Поняття функції багатьох змінних.
- •1.3. Послідовності точок в .
- •1.4. Означення функції багатьох змінних.
- •9.2. Найбільше та найменше значення функції в замкненій області. Іі. Основні теоретичні відомості. Приклади розв’язання задач
- •1. Поняття функції багатьох змінних
- •1.1. Евклідовий простір ( )
- •1.2. Множини точок в ( ).
- •1.3. Послідовності точок в ( )
- •Теорема 1
- •1.4. Означення функції багатьох змінних
- •Приклад 4
- •Розв’язання
- •Приклад 5
- •Розв’язання
- •3. Границя та неперервність функцій багатьох змінних
- •3.1. Границя функцій багатьох змінних
- •2.2. Неперервність функції багатьох змінних
- •Теорема 3
- •Теорема 4
- •3. Частинні похідні функції багатьох змінних
- •Приклади 10-11
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Приклад 12
- •Розв’язання
- •4. Диференціал функції та його використання
- •Теорема 5
- •Приклад 13
- •Розв’язання
- •Приклад 14
- •Розв’язання
- •5. Диференціювання неявних функцій
- •6. Похідна за напрямом. Градієнт
- •Якщо використати теорему Лагранжа, то неважко показати, що (24)
- •Приклад 15
- •Розв’язання
- •7. Частинні похідні вищих порядків
- •Приклад 16
- •Розв’язання
- •8. Застосування частинних похідних в економічних задачах
- •9. Екстремум функції багатьох змінних
- •9.1. Локальний екстремум функції багатьох змінних
- •Теорема 6
- •Приклади 17-18
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Має максимум, якщо або
- •Має мінімум, якщо або
- •Не має екстремуму, якщо
- •9.2. Найбільше та найменше значення функції в замкненій області
- •Приклад 21
- •Розв’язання
- •Ііі. Завдання для контрольної роботи. Завдання 1
- •Варіанти завдань:
- •Завдання 2.
- •Варіанти завдань:
- •Іv. Список використаної та рекомендованої літератури
Теорема 5
Якщо частинні похідні функції існують в околі точки і неперервні в самій точці , то функція , диференційована в цій точці.
Приклад 13
Знайти диференціал функції:
Розв’язання
Знайдемо частинні похідні
,
Як і для функції однієї змінної співвідношення (18) дозволяє знаходити наближене значення функції двох змінних. Дійсно оскільки
тому в силу (14)
.
(21)
Формула (21) і дозволяє знаходити наближене значення функції двох змінних.
Зауваження Формула (21) показує що заміна повного приросту функції її повним диференціалом привела до заміни функції в околі точки лінійною функцією відносно та оскільки Геометрично це означає що частина поверхні замінюється відповідною частиною дотичної площини до поверхні в точці
Приклад 14
Знайти наближене значення функції:
в точці .
Розв’язання
Тут Послідовно обчислимо:
За формулою (21), враховуючи, що дістанемо:
5. Диференціювання неявних функцій
Якщо рівняння , де – диференційована функція змінних x і y, визначає y як функцію від x, то похідну цієї неявно заданої функції (за умовою, що ) можна знайти за формулою . Похідні вищих порядків знаходяться послідовним диференціюванням отриманої формули.
Аналогічно, якщо рівняння , де – диференційована функція змінних x, y, z, визначає z як функцію незалежних змінних x та y і , то частинні похідні цієї функції можна знаходити за формулами:
6. Похідна за напрямом. Градієнт
Нехай функція визначена в деякому околі точки , a – напрямок, що задається одиничним вектором , де - кути, які утворює вектор з осями координат.
Якщо точка перейде по напряму в точку , то функція одержить приріст у напрямі , тобто . (22)
Оскільки то очевидно (див. Рис.3), що , .
Рис.3.
Тому приріст функції у даному напрямі перепишемо у вигляді:
.
Означення 22. Похідною за напрямом функції двох змінних називається границя відношення приросту функції в цьому напрямі до величини переміщення при прямуванні її до нуля, тобто . (23)
Похідна – характеризує швидкість зміни функції в напрямі .
Зрозуміло, що частинні похідні та є похідні за напрямами паралельними осям Ox та Оy відповідно.
Якщо використати теорему Лагранжа, то неважко показати, що (24)
Означення 23. Градієнтом функції називається вектор з координатами .
Враховуючи, що , праву частину (24) можемо записати у вигляді скалярного добутку:
. (25)
Звідси випливає, що похідна за напрямом є скалярний добуток градієнта і одиничного вектора, який задає напрям .
Скалярний добуток двох векторів (25) максимальний, якщо вони мають однаковий напрям. Тому градієнт функції в даній точці характеризує напрям максимальної швидкості зміни функції в цій точці. Градієнт записують через його координати , а його довжина дає величину максимальної швидкості зміни функції в точці .