Распределение молекул по модулю скорости

Найдем вероятность или относительное число молекул, модуль скорости которых заключен в интервале (v, v+dv) (рисунок). Объем этого слоя равен произведению поверхности слоя на его толщину, т.е. 4v²dv, объемная же плотность вероятности f(v) во всех точках слоя одинакова. Следовательно, вероятность попадания в этот слой

dP = f(v) 4v²dv

Величина dP / dv - мы ее обозначим F(v) - характеризует искомую вероятность, т.е. F(v) = 4v² f(v):

Эта формула представляет собой закон распределения Максвелла по модулю скорости. Вид функции F(v) показан на рисунке. Эта функция тоже нормирована на единицу:

На рисунке пунктиром представлена «конструкция» (сомножители) функции F(v). Заметим, что в отличие от F(v) площадь под кривой f(v) физического смысла не имеет (физический смысл имеет интеграл по объему от f(v)).

Распределения Максвелла не зависит ни от структуры молекул, ни от того, как они взаимодействуют друг с другом. Поэтому они применимы не только к газам, но и к другим агрегатным состояниям вещества.

Характерные скорости

К ним относятся три скорости: наиболее вероятная v_вер, средняя v и среднеквадратичная v_кв .

Наиболее вероятной скорости соответствует максимум функции распределения F(v). Эта скорость определяется из условия dF / dv = 0, откуда следует

v_вер =

Средняя скорость по определению

v =

Среднеквадратичная скорость v_кв = находится из условия

Отсюда

v_кв =

Приведенные характерные скорости отличаются друг от друга в пропорции

v_вер : v : v_кв = 1 : 1,13 : 1,22

Качественно это показано на рисунке.

Для примера, средняя скорость молекул азота N₂ при Т = 300 К составляет 480 м/с.

Зависимость распределения от т

Для разных температур Т₁  Т₂  Т₃ кривые распределения F(v) будут иметь вид, показанный на рисунке. Видно, что с увеличением температуры максимум функции F(v) смещается в сторону больших скоростей, а его величина уменьшается. При этом площадь под всеми тремя кривыми остается равной единице. Кривые на рисунке можно рассматривать и иначе - как соответствующие разным массам молекул газа при одной и той же температуре, причем m₁  m₂  m₃

Распределение по энергиям молекул

Имеется в виду функция распределения молекул по их кинетическим энергиям  поступательного движения. Для нахождения этой функции - обозначим ее Ф() - будем исходить из того, что вероятность dP пребывания молекулы в интервале скоростей (v, v+dv) равна dP = F(v)dv. Разделив и умножив правую часть этого равенства на d, получим

Кроме того, учтем, что  = mv²/2 и d/dv = mv 

В результате получим

График этой функции показан на рисунке. Наиболее вероятная энергия находится из условия dФ/d = 0:

_вер = kT/2

Дополнительные замечания

1) При статистическом подходе не имеет смысла вопрос: какова вероятность определенного значения скорости молекулы (или сколько молекул имеют определенное значение скорости). Она равна 0. Речь может идти только о числе молекул в заданном интервале скоростей или вероятности молекулы иметь скорость в заданном интервале.

2) При подсчете вероятности или числа молекул в заданном интервале скоростей не всегда следует прибегать к интегрированию. Если интервал скоростей очень мал (по сравнению с самой скоростью), то решение сводится просто к умножению:

Р  F(v) v

3) Следует иметь в виду, что все функции распределения - величины размерные. Например, размерность (v_x) и F(v) равна с/м, а размерность f(v) - с³/м³