Вынужденные колебания

Уравнение вынужденных колебаний

Свободные колебания реальной колебательной системы являются, как мы выяснили, затухающими. Чтобы возбудить в такой системе незатухающие колебания, необходимо компенсировать потери энергии, обусловленные силами сопротивления (трения). Это можно осуществить, воздействуя на систему переменной внешней силой F, изменяющейся — в простейшем и практически наиболее важном случае — по гармоническому закону . Возникающие при этом колебания и называют вынужденными.

Теперь на колеблющуюся частицу будут действовать одновременно три силы: квазиупругая ( ), сила сопротивления ( ) и внешняя, вынуждающая (F_x). Согласно основному уравнению динамики,

, (39)

или в более удобной форме

, (40)

где .

Решение уравнения (40), как доказывается в математике, представляет собой сумму общего решения однородного уравнения (когда правая часть равна нулю) и частного решения неоднородного:

.

Нас будет интересовать только частное решение, соответствующее установившимся колебаниям. Общее решение однородного уравнения описывает затухающие колебания, которые по истечении некоторого времени практически исчезают.

Таким образом, по истечении некоторого времени (с момента начала действия вынуждающей силы) в системе устанавливаются гармонические колебания с частотой вынуждающей силы, но отстающие по фазе от последней на :

. (41)

Наша задача — определить постоянные а и . Для этого продифференцируем (41) дважды по времени:

(42)

и подставим выражения для в исходное уравнение (40). Сумма трех гармонических функций в левой части (4) должна быть равной функции . Учитывая фазовые сдвиги между , представим это равенство с помощью векторной диаграммы (рис.15, для случая ₀). В скобках на этой диаграмме указаны «происхождения» (или соответствие) векторов, модули которых имеют размерность ускорения. Из этой диаграммы по теореме Пифагора следует, что , откуда

. (43)

Рис.15

Из этой диаграммы видно, что отставание смещения по фазе на  от вынуждающей силы определяется как

(44)

Формулы (43) и (44) показывают, что амплитуда а колебаний и отставание смещения по фазе на  от вынуждающей силы определяется свойствами самого осциллятора ( ) и вынуждающей силы ( ), но не начальными условиями.

Резонанс

На рис.16 приведены графики зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы а() для трех коэффициентов затухания. Видно, что а() имеет максимум при частоте, которую легко найти из условия da/d = 0 (достаточно найти экстремум подкоренного выражения). Эту частоту называют резонансной:

, (45)

а существование максимума амплитуды а — явлением резонанса. Соответственно приведенные на рис.16 графики принято называть резонансными кривыми.

Рис.16

Выражение для амплитуды при резонансе получим, подставляя (45) в (43):

. (46)

Чем меньше затухание системы, тем более ярко выражен резонанс. Явление резонанса играет огромную роль в физике и технике. Его используют, если нужно усилить колебания, и, наоборот, всячески избегают, если резонанс может привести к нежелательным усилениям колебаний.

Зависимость фазового сдвига  от частоты  показана на рис.17 (для двух коэффициентов затухания). При слабом затухании , и значение  при резонансе практически равно /2 (см. рис.15).

Рис.17, 18

На рис.18 дан график зависимости средней (за период) мощности выждающей силы от ее частоты . Заметим, что = max при  = ₀ независимо от коэффициента затухания . Важным параметром резонансной кривой , характеризующим «остроту» резонанса, является ее ширина  на половине «высоты». Можно показать, что при малом затухании (  ₀) «острота» резонанса, т.е. отношение /, равно добротности осциллятора:

/ = Q.