Физический маятник
Это твердое тело, совершающее колебания
вокруг неподвижной оси, жестко связанной
с телом. Рассмотрим колебания под
действием силы тяжести (рис.4). Выберем
положительное направление отсчета угла
против часовой стрелки (ось Z
направлена к нам). Тогда проекция момента
силы тяжести на ось Z
запишется, как
и уравнение динамики вращательного
движения твердого тела примет вид
,
где I — момент инерции тела относительно оси О, l — расстояние между осью О и центром масс С. Ограничимся рассмотрением малых колебаний, при которых sin . При этом условии предыдущее уравнение можно записать так:
.
Рис.4
Колебания будут гармоническими с частотой 0 и периодом Т, равными
.
(10)
Такую же частоту и период имеет математический маятник длины
,
(11)
которую называют приведенной длиной физического маятника.
Точку
(рис.4), которая находится на прямой,
проходящей через точку подвеса О и
центр масс С, и отстоит от точки О
на расстоянии lпр,
называют центром качания физического
маятника. Центр качания
обладает
замечательным свойством: если маятник
перевернуть и заставить совершать малые
колебания вокруг оси
,
то период колебаний не изменится. На
этом свойстве основано определение
ускорения свободного падения с помощью
оборотного маятника: экспериментально
устанавливают положения двух «сопряженных»
точек (осей) О и
,
малые колебания вокруг которых происходят
с одинаковой частотой. Это значит, что
расстояние О
=
lпр. Определив
0 и lпр,
из формулы
находим g.
Общие выводы
Рассмотренные примеры относятся к свободным колебаниям без трения, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как она была выведена из состояния равновесия. Можно утверждать, что свободные колебания любого осциллятора в отсутствие трения будут гармоническими, если действующая в нем сила (или момент силы) является квазиупругой, т.е. силой, направленной к положению равновесия и зависящей от смещения из этого положения линейно.
Именно квазиупругий характер силы (или момента силы) служит и критерием малых колебаний.
Кроме того, частота и период свободных колебаний без трения зависят только от свойств самого осциллятора в отличие от амплитуды колебаний и начальной фазы, которые определяются начальными условиями.
Энергия гармонического осциллятора
Рассмотрим этот вопрос на примере
материальной точки массы m,
колеблющейся под действием квазиупругой
силы
.
Потенциальная и кинетическая энергии
частицы имеют в данном случае такой
вид:
,
.
(12)
Из этих соотношений видно, что значения U и K сдвинуты друг от друга по фазе на /2: когда U максимальна, К минимальна, и наоборот. При этом полная энергия сохраняется:
,
(13)
где учтено, что
.
Принимая во внимание (13), формулы (12)
можно переписать так:
.
(14)
Графики зависимостей U(t) и K(t) даны на рис.5. Из рисунка видно, что в процессе колебаний происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно. Это иллюстрирует и рис.6.
Рис.5
Рис.6
Средние (за период колебания) значения потенциальной и кинетической энергий одинаковы, и каждое из них равно Е/2:
(15)
поскольку известно, что средние (за период) значения квадратов синуса и косинуса равны ½.
Отметим в заключение, что, согласно (13), энергия колебаний осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды. Этот важный факт неоднократно учитывается при анализе колебаний.
Энергия и уравнение движения
Уравнение движения колебательной системы можно получить не только из уравнений динамики, но и из закона сохранения энергии Е (иногда это бывает удобнее). Для этого нужно составить выражение для энергии Е, продифференцировать его по времени и потребовать, чтобы dE/dt = 0, поскольку Е = const. Это и приведет к искомому уравнению.
Важно отметить, что колебательная система будет гармоническим осциллятором лишь при условии U пропорционально х2, т.е. когда потенциальная энергия пропорциональна квадрату смещения из положения равновесия. Это условие, кстати, является и «энергетическим» критерием малых колебаний.