Сложение гармонических колебаний

Сложение колебаний одного направления

Векторная диаграмма

Решение ряда вопросов значительно облегчается и становится наглядным, если изображать колебания графически с помощью вектора-амплитуды а, вращающегося с угловой скоростью  против часовой стрелки. Если в момент t = 0 вектор а образует с осью Х угол  (рис.7), то проекция вектора а на ось Х изменяется со временем по гармоническому закону (1). Такой способ представления колебаний, называемый векторной диаграммой, удобно использовать при сложении колебаний одного направления.

Рис.7

Сложение колебаний

Рассмотрим два случая, когда частоты двух складываемых колебаний одинаковы или мало отличаются друг от друга.

1. Случай, когда ₁ = ₂ = . В этом случае результирующее смещение

. (16)

Каждое из складываемых колебаний можно представить с помощью векторов а₁ и а₂, сумма проекций которых на ось Х равна проекции суммы векторов а₁ + а₂ = а (рис.8). Поскольку векторы а₁ и а₂ вращаются с одной и той же угловой частотой , с той же угловой скоростью вращается и вектор а. Значит, результирующее колебание является тоже гармоническим и имеет вид

(17)

где а и  находим из рис.8:

(18)

(19)

Разность фаз  в данном случае не зависит от времени и равна

.

Рис.8

Из рис.8 и формулы (18) видно, что амплитуда а результирующего колебания существенно зависит от разности фаз , достигая максимума при сложении синфазных колебаний и минимума при сложении синфазных колебаний и минимума при сложении «противофазных» колебаний. Из-за наличия последнего слагаемого в (18) энергия результирующего колебания не может быть представлена как сумма энергий складываемых колебаний, т.е. Е  Е₁ + Е₂ (за исключением случая, когда  = /2).

2. Случай, когда  ₁ и ₂. Здесь также результирующее колебание записывается формулой (18) и справедлив рис.8. Но поскольку теперь векторы а₁ и а₂ вращаются с немного отличающимися угловыми скоростями, модуль результирующего вектора а будет медленно изменяться от а_макс до а_мин, причем сам вектор а вращается с угловой скоростью, близкой к ₁ и ₂. Результирующее колебание уже не является гармоническим. Однако его все же можно рассматривать как гармоническое, но с медленно и периодически меняющейся амплитудой. Такие колебания называют биениями. Они показаны на рис.9 для случая а₁ = а₂.

Амплитуда колебаний описывается той же формулой (18), но в данном случае входящая в нее разность фаз  зависит от времени:

(21)

Промежуток времени между соседними моментами, когда амплитуда а максимальна, называют периодом биений _б (рис.9). За это время разность фаз  изменяется на 2 (это следует и из векторной диаграммы). Значит, _б = 2. Отсюда период и частота биений:

(22)

Рис.9

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Сначала рассмотрим случай, когда частоты складываемых колебаний одинаковы. Пусть координаты х и у частицы изменяются по закону

(23)

Можно показать, что траекторией частицы при этом является эллипс (рис.10), вид которого определяется отношением амплитуд a и b и разностью фаз .

Рис.10

Некоторые частные случаи:

а)  = 0, тогда y = (b/a)x, т.е. частица движется по прямой в первом и третьем квадрантах (рис.11,а);

б)  = , тогда y = — (b/a)x и частица движется тоже по прямой, но во втором и четвертом квадрантах (рис.11,б);

в)  = /2. В этом случае x²/a² + y²/b² = 1, т.е. частица движется по эллипсу, полуоси которого а и b совпадают с осями координат. При а = b эллипс превращается в окружность. Так как колебания вдоль оси У происходят с опережением по фазе на /2 относительно колебаний по оси Х, то сначала у и лишь затем х достигают максимальных значений. Это значит, что движение частицы будет происходить по часовой стрелке (рис.11,в);

г)  = 3/2. Это то же, что и  = —/2, поскольку изменение фазы на 2 несущественно (рис.11,г).

Рис.11

Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы и относятся как целые числа, то траектории результирующего движения имеют более сложные формы. Их называют фигурами Лиссажу. Одна из этих фигур показана на рис.12, она соответствует отношению частот

Рис.12

И последнее: при сложении взаимно перпендикулярных колебаний полная энергия

, (24)

т.е. складывается изэнергий каждого колебания (в отличие от сложения колебаний одного направления(. Согласно (13), эта энергия

. (25)