Колебания Гармонические колебания

Кинематика гармонических колебаний

Гармоническими называют колебания, в которых интересующая нас величина х (например, линейное или угловое смещение из положения равновесия) изменяется со временем t по закону

(1)

где а – амплитуда, – фаза,  – начальная фаза, – циклическая (круговая) частота колебаний. Эта частота связана с периодом Т и линейной частотой  как

. (2)

Линейная частота это количество колебаний в секунду, измеряется в герцах (Гц). Круговая частота показывает, на какое количество радианов изменяется фаза колебаний в одну секунду, измеряется в с^-1.

Продифференцировав (1) по времени, найдем скорость и ускорение :

, (3)

(4)

Из этих выражений видно, что скорость и ускорение также изменяются по гармоническому закону с амплитудами и соответственно. При этом скорость опережает смещение х по фазе на /2, а ускорение – на , т.е. находится в противофазе со смещением х. На рис.1 приведены графики зависимостей х(t), (t), (t) для случая  = 0.

Рис.1

Сопоставив (4) и (1), видим, что

Это дифференциальное уравнение называют уравнением гармонического осциллятора. Его решение (1) содержит две произвольные постоянные: а и . Для каждого конкретного колебания они определяются начальными условиями  смещением х₀ и скоростью в начальный момент t = 0:

. (6)

Отсюда находим искомые постоянные:

(7)

Обычно рассматривают только значения  в интервале (, ). Уравнение для tg удовлетворяется двумя значениями  в этом интервале. Из этих значений следует взять то, при котором получаются правильные знаки у cos и sin в (6).

Динамика гармонических колебаний

Для определения характера движения механической системы нужно, исходя из законов динамики или закона сохранения энергии, составить уравнение движения системы, и если оно приводится к виду (5), то можно однозначно утверждать, что данная система является гармоническим осциллятором, частота ₀ которого равна корню квадратному из коэффициента при х. Рассмотрим несколько примеров и затем обобщим полученные результаты.

Грузик на пружине

Пусть грузик массы m, подвешенный на невесомой пружине жесткости , совершает вертикальные колебания (рис.2). Возьмем начало О оси Х в положении равновесия, где ,  растяжение пружины в этом положении. Тогда, согласно основному уравнению динамики, , или

.

Рис.2

Из сопоставления с (5) видим, что это уравнение гармонического осциллятора, колеблющегося около положения равновесия с частотой ₀ и периодом Т, равными

, (8)

Математический маятник

Материальная точка массы m, подвешенная на нерастяжимой нити длиной l, совершает колебания в вертикальной плоскости (рис.3). Здесь удобнее всего использовать уравнение динамики в проекции на орт , направление которого совпадает с положительным направлением дуговой координаты s (величина алгебраическая, на рисунке изображен момент, когда s  0). Начало отсчета s возьмем в положении равновесия — в точке О. Имея в виду, что s = l , и что проекция силы натяжения F_ = 0, запишем: , или

Рис.3

Из сопоставления с (5) видим, что это уравнение, вообще говоря, не является уравнением гармонического осциллятора. Поскольку в нем вместо смещения стоит sin . Однако при малых колебаниях, когда sin  , уравнение совпадает с (5):

,

откуда следует, что частота ₀ и период Т математического маятника, совершающего малые колебания, равны

. (9)