Решение типовых задач
Пример 1.
Получить численное решение дифференциального
уравнения
с начальным условием
на отрезке
с шагом
,
используя методы Эйлера и Рунге – Кутты.
Найти погрешности полученных приближенных
решений, сравнив их с точным решением
(пример из
).
Данное уравнение является уравнением
Бернулли, его частное решение имеет вид
.
Тогда точное значение
.
В задаче даны
,
.
Используя расчетную формулу (10.6) метода
Эйлера заполняем таблицу 10.2
Таблица 10.2
|
|
|
|
|
0 |
3,0 |
1,2 |
– 1,04 |
– 0,208 |
1 |
3,2 |
0,992 |
– 0,67406 |
– 0,13481 |
2 |
3,4 |
0,85719 |
– 0,48266 |
– 0,09653 |
3 |
3,6 |
0,76066 |
– 0,36731 |
– 0,07346 |
4 |
3,8 |
0,68720 |
– 0,29140 |
– 0,05828 |
5 |
4,0 |
0,62892 |
|
|
Используя расчетные формулы метода Рунге – Кутты (10.7) заполняем таблицу 10.3.
Таблица 10.3
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3,0 |
1,2 |
– 1,04 |
3,1 |
1,096 |
– 0,84765 |
– 0,16953 |
1 |
3,2 |
1,03047 |
– 0,73905 |
3,3 |
0,95649 |
– 0,62503 |
– 0,12501 |
2 |
3,4 |
0,90547 |
– 0,55356 |
3,5 |
0,85011 |
– 0,47980 |
– 0,09596 |
3 |
3,6 |
0,80951 |
– 0,43044 |
3,7 |
0,76647 |
– 0,38320 |
– 0,07606 |
4 |
3,8 |
0,73345 |
– 0,34494 |
3,9 |
0,69895 |
– 0,30932 |
– 0,06186 |
5 |
4,0 |
0,67158 |
|
|
|
|
|
Погрешности (абсолютная
и относительная
)
приближенных значений
приведены в таблице 10.4.
Таблица 10.4
Решение |
|
|
, % |
точное |
0,66667 |
– |
– |
приближенное методом Эйлера |
0,62892 |
0,0377 |
5,7 |
приближенное методом Рунге – Кутты |
0,67158 |
0,0049 |
0,7 |
