- •Задачи а
- •6. Найти общее решение дифференциального уравнения .
- •16. Является ли функция решением уравнения ?
- •10.2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли
- •5. Решить задачу Коши: .
- •10.3. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
- •Задачи а
- •5. Решить задачу Коши:
- •18. Решить задачу Коши: .
- •10.4. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью
- •2. Решить задачу Коши .
- •14. Решить задачу Коши .
- •19. Решить задачу Коши .
- •10.5. Численные методы решения дифференциальных уравнений: метод Эйлера, метод Рунге – Кутты
- •Задания для выполнения лабораторной работы
- •Решение типовых задач
- •Контрольные задания по теме «Дифференциальные уравнения»
- •4. Найти общее решение дифференциального уравнения .
- •6. Найти общее решение дифференциального уравнения
- •12. Найти общее решение дифференциального уравнения .
10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
10.1. Дифференциальные уравнения первого порядка.
Дифференциальные уравнения
с разделяющимися переменными, однородные
Основные понятия: дифференциальное уравнение первого порядка, решение, общее решение, общий интеграл, задача Коши, частное решение, интегральная кривая, теорема существования и единственности решения задачи Коши; дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, однородное уравнение первого порядка [1, с. 417-421].
Дифференциальным уравнением первого порядка относительно искомой функции называется уравнение вида
.
Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, имеет вид
.
Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде
или .
При решении таких уравнений сначала разделяют переменные , потом находят общий интеграл, при этом возможна потеря решений (см. решение типовых задач, пример 3).
Однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет вид
(10.1)
или
,
где и однородные функции степени , т.е. и .
Однородное уравнение (10.1) с помощью подстановки ( ), где новая неизвестная функция, приводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.
Задачи а
1. Является ли функция решением уравнения ?
2. Найти общее решение дифференциального уравнения .
3. Решить задачу Коши .
4. Проверить, что функции и являются решениями уравнения проходящими через точку (0; 0). Какое условие теоремы существования и единственности решения здесь нарушается?
5. Какие из дифференциальных уравнений являются уравнениями с разделяющимися переменными: а) ;
б) ; в) ?
6. Найти общее решение дифференциального уравнения .
7. Установить соответствие между дифференциальными уравнениями:
1) 2) 3)
и общими решениями:
А) В) С) D)
8. Какие из дифференциальных уравнений являются однородными уравнениями:
а) ; б) ; в) ?
Задачи Б
Решить дифференциальные уравнения:
9. . 10. . 11. ;
Решить задачу Коши:
12. . 13. .
14. .
15. Построить интегральную кривую уравнения , проходящую через точку .
Домашнее задание
16. Является ли функция решением уравнения ?
Решить дифференциальные уравнения:
17. . 18. . 19. .
Решить задачу Коши:
20. , . 21. .
Дополнительные задачи
22. Решить дифференциальное уравнение .
Решить задачу Коши:
23. . 24. .
25. . 26. .
Решение типовых задач
Пример 1. Проверить, являются ли функции , решениями дифференциального уравнения .
Функция будет решением, т.к. и
для всех А функция не является решением дифференциального уравнения ни на каком интервале, т.к. и равенство выполняется только для отдельных значений – нет такого интервала, на котором равенство выполнялось бы для всех .
Пример 2. Решить задачу Коши .
Исходное уравнение можно записать в виде .
Разделяя переменные, будем иметь . Интегрируя по обе части этого уравнения , ,
получим общий интеграл , .
Потенцируя последнее равенство, получим
или , где , .
Решением уравнения также будет: . Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид , .
Далее, используя заданное начальное условие , получим
, откуда . Следовательно, искомое частное решение имеет вид .
Пример 3. Решить уравнение .
Разделяя переменные и интегрируя , получим , или , где , .
При делении на и потеряли решения , . Итак, общее решение уравнения имеют вид: . Решениями также являются .
Пример 4. Решить дифференциальное уравнение .
Разделив обе части уравнения на , получим .
Это однородное дифференциальное уравнение. Полагаем , тогда и уравнение принимает вид или
. Это уравнение с разделяющимися переменными:
, , .
Так как , то общий интеграл уравнения: .
Ответы
9. 10. . 11. .
12. . 13. . 14. . 15. . 16. Да.
17. . 18. , . 19. 20. . 21. . 22. , . 23. . 24. . 25. . 26. .
10.2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли
Основные понятия: линейное дифференциальное уравнение первого порядка, уравнение Бернулли [1, с. 422-423].
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид
.
По методу Бернулли (см. комментарий с. 226) решение этого уравнения ищут в виде: . (см. решение типовых задач, пример 1).
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции : .
Уравнение Бернулли имеет вид:
.
Решение уравнения Бернулли можно также искать в виде .
Задачи А
1. Определить типы уравнений и указать способы их решения:
а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) ; е) ;
ж) ; з) .
Задачи Б
Решить дифференциальные уравнения:
2. . 3. . 4. .