Кореляційний аналіз

Якщо елімінування застосовують для оцінки взаємозв’язків функціонально-залежних величин, то для характеристики взаємозв’язків випадкових величин використовують кореляційно-регре-сійний аналіз.

Кореляційно-регресійний аналіз дозволяє кількісно оцінити тісноту зв’язку між випадковими величинами і ступінь впливу факторів на узагальнений показник (кінцевий результат ). Кореляція між двома величинами називається парною, а між багатьма – множинною.

Тісноту зв’язку між двома факторами характеризує коефіцієнт парної кореляції, який визначається за такою формулою:

r = , (3.7)

де - середнє значення добутку випадкових величин;

- середні значення величин х і у;

- середньоквадратичні відхилення випадкових величин.

Коефіцієнт кореляції змінюється від –1 до 1. Якщо коефіцієнт кореляції дорівнює 1, то між величинами існує пряма функціональна залежність, при коефіцієнті –1 - обернена функціональна залежність, при коефіцієнті рівному 0 залежність відсутня.

Зв’язок між багатьма факторами визначається коефіцієнтом множинної кореляції:

, (3.8)

де r –коефіцієнти парної кореляції, обчислені за формулою (3.7).

Взаємозв’язок між випадковими величинами характеризує рів-няння регресії. Якщо між величинами передбачається прямоліній-на залежність, то її відображають рівнянням лінійної регресії (рів-нянням прямої):

Таблиця 3.3. Допоміжна таблиця

для розрахунку коефіцієнтів рівняння регресії

х1	х2	х1х2	х12	х22	у	ух1	ух2
30	29	870	900	841	28	840	812
36	38	1368	1296	1444	48	1728	1824
42	39	1638	1764	1521	64	2688	2496
47	42	1974	2209	1764	80	3760	3360
56	46	2576	3136	2116	100	5600	4600
60	52	3120	3600	2704	116	6960	6032
66	55	3630	4356	3025	144	9504	7920
∑=337	301	15176	17261	13415	580	31080	27044

Звідки с = 0,929.

Підставимо значення с в перше рівняння другої системи і вирішивши його одержимо b = 2,431.

Підставимо значення b i c в перше рівняння першої системи знаходимо а = -74,101

Таким чином, вихід валової продукції рослинництва В від площі посівів F і наявності основних засобів виробництва S можна підрахувати за таким рівнянням:

B = 2,431F + 0,929S – 74,101

Задача 3

Витрати на ремонт і технічне обслуговування тракторів

Т-150К по рокам експлуатації в середньому склали 711,00; 1058,50; 1461,91; 1853,84; 1913,79; 1989,40; 2379,16; 2499,26 грн. Обчислити прогноз витрат на ремонт і технічне обслуговування трактора Т-150К на 10 рік служби.

Навіть без побудови графіка видно, що між витратами на ремонт і технічне обслуговування і строком служби існує нелінійна

Задача 2

В таблиці 3.2 наведені дані групування фермерських господарств за виходом валової продукції рослинництва. Скласти рівняння регресії залежності виходу валової продукції рослинництва від площі посівів і забезпеченості основними засобами виробництва.

Таблиця 3.2. Групування фермерських

господарств за виходом валової продукції рослинництва

Кількість господарств	Площа посівів, га	Основні засоби виробництва, тис. грн.	Вихід продукції рослинництва, тис. грн.
10	30	29	28
13	36	38	48
25	42	39	64
18	47	42	80
23	56	46	100
10	60	52	116
9	66	55	144

Складемо допоміжну таблицю для обчислення коефіцієнтів рівняння регресії і розв’яжемо систему рівнянь (3.13).

580 = 7а + 337b + 301c

31080 = 337a + 17261b + 15176c

27044 = 301a + 15176b + 13415c

Поділивши на коефіцієнти при а і віднявши від другого і третього рівняння перше одержимо систему з двох рівнянь.

9,369 = 3,077b + 2,033c

6,99 = 2,276b + 1,568c

Поділивши на коефіцієнти при b і віднявши від другого рівняння перше одержимо 0,026 = 0,028с.

y = а + bx, (3.9)

де а,b – коефіцієнти рівняння регресії.

Значення коефіцієнтів а,b знаходять методом найменших квадратів. Цей метод передбачає, що сума квадратів відхилень фактичних значень функціональної ознаки від значень, одержаних за рівнянням регресії, повинна бути мінімальною:

∑( у_і - )² → min (3.10)

Для лінійної залежності (3.9) параметри а,b визначають вирі-шуючи систему рівнянь:

∑у = nа + b∑x;

∑yx = a∑x + b∑x², (3.11)

де n – число членів в кожному рядку.

Якщо вивчають вплив декількох факторів і передбачається лінійна кореляція, то рівняння регресії буде такого типу:

y_х1,х2 = а + bx₁ + cx₂ (3.12)

і параметри а,b,c підраховуються теж методом найменших квадратів вирішенням наведеної нижче системи рівнянь (3.13). Потім обчислюється коефіцієнт множинної кореляції за формулою (3.8):

∑у = na + b∑x₁ + c∑x₂

∑ух₁ = а∑х₁ + b∑x₁² + c∑x₁x₂ (3.13)

∑yx₂ = a∑x₂ + b∑x₁x₂ + c∑x₂²

Якщо передбачається нелінійна кореляційна залежність, тоді рівняння регресії буде поліномом вищого ступеня:

у_х = a + bx + cx² (3.14)

і система рівнянь для визначення коефіцієнтів a,b,c буде такою:

∑у = nа + b∑x + c∑x²

∑yx = a∑x + b∑x² + c∑x³ (3.15)

∑yx² = a∑x² + b∑x³ + c∑x⁴

Для вирішення системи рівнянь необхідно складати допоміжні таблиці з величинами у, ух, х, х², х³, х⁴ і т.д.

Розглянемо приклади застосування кореляційного аналізу.