Контрольні запитання

1. Дайте визначення інтенсивності потоку вимог.

2. Як визначити інтенсивність обслуговування?

3. Охарактеризуйте властивості найпростішого потоку замовлень.

4. Які є стратегії обслуговування у СМО?

5. Скільки буде каналів при обслуговуванні двох комбайнів трьо- ма автомобілями?

Практичне заняття № 9

Застосування теорії масового обслуговування

Для вирішення задач машиновикористання

В землеробстві

Тривалість – 4 години

Література

1. Нагірний Ю.П. Обгрунтування інженерних рішень.- Київ: Урожай, 1994.

2. Прохоров А.И., Розенберг В.Я. Что такое теория массового обслуживания.-М.: Советское радио, 1962.

Мета роботи – оволодіти методами теорії масового обслуговування при розв’язанні задач машиновикористання в землеробстві.

У повсякденному житті людина постійно зустрічається з прик-ладами теорії масового обслуговування. Придбання товару в крам-ниці, розмова по телефону з потрібним абонентом, рух громадсь-кого транспорту, медичне обслуговування – все це приклади масо-вого обслуговування. В сільському господарстві до систем масово-го обслуговування можна віднести роботу ремонтних майстерень, пунктів технічного обслуговування, паливно-заправних постів, комплексів на збиранні урожаю різних с.-г. культур і таке інше.

Система масового обслуговування (СМО) і призначена для обслуговування тих чи інших замовлень, що надходять у випад-кові моменти часу, причому тривалість замовлення має також випадковий характер. Таким чином, ми маємо справу з невиз-наченостю умов, що пов’язана з кількістю замовлень за певний проміжок часу.

Потоком вимог (вхідним потоком) називається кількість за-мовлень, що надходить в обслуговуючу систему.

Вивчення потоку вимог (кількість замовлень за певний період, нерівномірність надходження замовлень, тривалість виконання за-мовлення, довжина черги) – одне з основних завдань при застосу-ванні методів теорії масового обслуговування.

Процес роботи СМО характеризується станами, які стрибкопо-дібно у випадкові моменти часу змінюються (надходження замов-лення на обслуговування, закінчення обслуговування, вихід з чер-ги). За допомогою теорії масового обслуговування визначають ймовірність різних станів а також показники функціональної ефек-тивності роботи СМО.

Залежно від поставленої мети показниками функціональної ефективності СМО можуть бути пропускна здатність, середнє чис-ло зійнятих каналів, середнє число замовлень у черзі, середній час очікування обслуговування, середній час перебування замовлення у системі.

Основними характеристиками СМО є інтенсивність потоку вимог і інтенсивність обслуговування. Інтенсивністю потоку вимог (λ) називається число замовлень (N), що надходять за одини-цю часу (t):

Інтенсивністю обслуговування (μ) називається величина, обер-

н ена часу обслуговування (Tобсл):

Важливим параметром СМО є відношення інтенсивності пото-ку вимог до інтенсивності обслуговування – середнє число замов-лень, що надходить за час одного обслуговування (α):

Фірмою Microsoft розроблений потужний табличний проце-сор Excel (електронні таблиці) для виконання складних матема-тичних розрахунків.

За допомогою цих електронних таблиць можна вводити свої формули, проводити математичні, статистичні, фінансові і інші розрахунки, обчислювати математичне очікування, дисперсії і інші характеристики майже усіх законів розподілу, аналізувати і обробляти бази даних, будувати діаграми різного виду і відобра-жати дані на картах.

Електронні таблиці Excel включають робочі листи розміром 256 колонок на 65536 строчки, що більш ніж достатньо для вирі-шення більшості інженерних задач. В кожній клітинці електронної таблиці може бути розміщена якась інформація: цифрова, текстова чи формула.

Порядок роботи з програмним продуктом Excel

1. Ввійти в операційну систему Windows.

2. Мишкою натиснути Пуск.

3. Натиснути меню Програми і підменю Місrоsоft Excel.

Далі в клітинки електронної таблиці вносяться цифрові дані, над якими можна виконувати будь-які математичні операції, або обробляти їх за допомогою стандартних математичних функцій чи формул, створених автором програми.

Excel передбачає автоматизацію введення деяких чисел (дат, років, місяців, днів тижня), лінійних послідовностей, введення чи-сел з фіксованою кількістю знаків після коми. Можна також авто-матично підсумовувати дані як по строчках, так і по стовпчиках, або виконувати інші автопідрахунки.

Результати обчислень можна дуже легко копіювати, продиви-тись на екрані або надрукувати на принтері.

Всі ці операції і багато інших можна виконувати за допомогою стандартного і дуже зручного інтерфейсу.

Ймовірність того, що буде простоювати хоча б один комбайн із-за відсутності автомобілів, обчислюємо за формулою (9.11):

Середня кількість замовлень, що знаходяться у черзі (середня кількість комбайнів, що простоюють в очікуванні транспортних засобів):

комбайнів (бункерів) за годину

В систему надходить 11,1 замовлень за годину. Тоді простої складуть:

Таким чином, незважаючи на те, що в середньому в заданих умовах кількість автомобілів для відвезення зерна достатня, про-стої комбайнів складають 39,02 відсотки, тобто у групу необхідно добавити ще 2 автомобіля ( ). Це пояснюється нерів-номірним надходженням транспорту.

Як видно з наведених прикладів, невідповідність математичної моделі реальним умовам роботи машин призводить до значних по-милок в розрахунках і, відповідно, до зменшення продуктивності машин чи комплексів.

З другого боку врахування імовірнісної природи виробничих процесів потребує багато складних розрахунків. Для полегшення складної обчислювальної роботи слід використовувати сучасну обчислювальну техніку з відповідним програмним забезпеченням.

З а числом каналів обслуговування СМО може бути однокана-льною або багатоканальною. Можлива також різна стратегія об-слуговування : з відмовами, з чергою (обмеженою чи необмеже-ною), з пріоритетами.

Для одноканальної СМО з необмеженою чергою і найпрості-шим потоком замовлень система може знаходитись в наступних станах:

• СМО не зайнята;

• канал зайнятий, черга відсутня;

• канал зайнятий і одне замовлення в черзі;

• ………………………

• канал зайнятий і к-1 замовлень в черзі.

Граничні ймовірності станів СМО існують при α < 1 і вира-жаються формулами:

д е к = 0,1,2,… кількість замовлень у СМО.

Середнє число замовлень у СМО ( ті, що обслуговуються і знаходяться у черзі):

Середнє число замовлень у черзі:

Середній час перебування замовлення у СМО:

Середній час перебування замовлення у черзі:

Розглянемо задачу одноканальну СМО на прикладі роботи пункту технічного обслуговування тракторної бригади.

Задача 1

Перевірити потужність пункту для технічного обслуговування тракторів (завантаження ПТО) і визначити ймовірність станів сис-теми та показники функціональної ефективності за таких умов. СПТО збудований за типовим проектом ТП 816-101 і розрахова-ний на обслуговування 20 тракторів і 171 сільськогосподарської машини. У тракторній бригаді налічується 20 тракторів. Середня тривалість одного обслуговування 2,5 години. Тривалість часу змі-ни 7 годин. Періодичність технічного обслуговування 125 годин.

Порядок вирішення задачі.

За наведеними вище формулами підраховуємо:

-інтенсивність потоку вимог ( за 125 годин кожен трактор повинен пройти одне технічне обслуговування)

λ = = 0,16 трактора за годину;

-інтенсивність обслуговування (пропускну здатність ПТО)

μ = = 0,4 технічного обслуговування трактора за годину;

-середнє число замовлень, що надходить за час одного технічного обслуговування

α = = 0,4 машини за 2,5 години.

Обчислимо інтенсивність потоку замовлень, або число бунке-рів зерна, що намолочує група комбайнів за одиницю часу:

бункера за годину (9.20)

Тепер підрахуємо інтенсивність обслуговування (пропускну здатність чи продуктивність одного автомобіля):

бункера за годину (9.21)

Середнє число замовлень, що надходить за час одного обслу-говування, тобто кількість намолочених бункерів за час рейсу ав-томобіля підраховуємо за формулою (9.3)

бункера на протязі одного рейсу автомобіля

Таким чином, результат співпадає з розрахунками по детермі-нованій моделі (потрібно теж 5 автомобілів).