"Чтобы проверить правильно ли вы­полнено деление десятичных дробей, нужно так же, как и при делении нату­ральных чисел, частное умножить на де­литель и должно получиться делимое".

Проверьте, верны ли равенства:

1) 14:7=140:70; 5)0,483:0,21=48,3:21;

2) 25:5=50:10; 6) 5,534:1,43=553,4:143;

3) 1,4:0,7=14:7; 7)400,05:0,127=40005:127;

4) 0,14:0,7=1,4:7; 8) 0,236:2,36=23,6:236.

Какую закономерность вы подметили? Попытайтесь сформулировать правило де­сятичных дробей.

Актуализируя и развивая те компоненты ментального опыта ребенка, которые высту­пают в качестве основы процесса образо­вания понятий, мы, кроме того, должны "со­брать" их воедино с тем, чтобы можно было говорить о действительности сформирован­ное™ понятийных структур "внутри" опыта ребенка. Этому способствовали, на наш взгляд, серии заданий, позволяющих пос­ледовательно выстраивать субъективный образ содержания соответствующего поня­тия. В этом процессе можно выделить сле­дующие основные фазы.

1. Мотивировка — создание условий для осознания учащимися необходимости нового способа описания своего предыду­щего опыта (житейского, физического, ариф­метического, алгебраического), например, за счет создания эффекта "невозможности" разрешения ситуации в силу отсутствия на данный момент адекватных понятийных средств ее анализа;

2. Категоризация — введение знаково-символического и визуального обозначения понятия с последующим постепенным уве­личением степени обобщенности знаково-символического и визуального "языков" представления его содержания, а также ори­ентация ребенка на выделение отличитель­ных частных и общих (несущественных и существенных) признаков соответствующе­го понятия;

3. Обогащение— накопление и диффе­ренциация опыта оперирования вводимым понятием, расширение возможных ракурсов осмысления его содержания (за счет вклю­чения разных вариантов его интерпретации, увеличения числа варьирующих по степени существенности признаков, наращивания межпонятийчых связей, использование аль-

тернативных контекстов его анализа и т.д.);

4. Перенос — применение усваиваемо­го понятия в разных ситуациях, в том числе и в условиях самостоятельного выстраива­ния отдельных аспектов его содержания;

5. Свертывание — экстренная реоргани­зация всего множества имеющихся у ребен­ка сведений относительно данного понятия л превращение их в обобщенную знаниевую структуру. Иными словами, развернутый на предыдущих фазах субъективный образ по­нятия на этой фазе может обеспечиваться такими приемами, как создание "бессмыс­ленных" ситуаций (например, в условиях вы­нужденного выполнения долгих, громоздких

. вычислений), работа с "пустыми" заданиями типа "Составь рекламу для изучения обыкно­венных дробей", организация цейтнота и т.д.

Таким образом, образование понятийных структур, выступающих в качестве носите­лей понятийного знания, в предлагаемых учебных текстах контролируется в двух ос­новных аспектах: с точки зрения учета ос­новных компонентов понятийного мышления и с точки зрения пофазной динамики про­цесса образований понятий.

В качестве примера рассмотрим вкратце содержание основных фаз фор­мирования понятия "рационального чис­ла", последовательность которых учиты­валась при конструировании текста учеб­ного пособия "Сказке про Елену Прекрас­ную, Ивана-Царевича и рациональные числа" (6-й класс).

Мотивировка. Ребенок вместе с Иваном-Царевичем попадает в необычное царство Елены Прекрасной, где жители используют только лишь одни числа:

1 5 1092

—; —;--- и т.д.

4 7 1001

Герою, оказавшемуся в новой, непривычной обстановке, нужно разобраться, что это за числа такие, и как они соотносятся с извес­тными ему числами, которые в его, Ивано­вом царстве, хождение имеют: натуральны­ми числами 1, 2, 3, 4, 7, 9..., десятичными дробями 0,25; 5,7000; 800,333...

Категоризация. Вводятся новые терми­ны: сначала — "числитель", "знаменатель", "обыкновеннаядробь", затем — "рациональ­ное число". Одновременно вводится визуаль ный ряд, характеризующий отличительные признаки рационального числа в виде раз­нообразных предметных моделей (разрезан­ного на доли пирога, безразмерного мешка с дробями и т.п.) и нормативных образов (луча, числовой прямой, отрезка и т.п.).

Обогащение. Чтобы уверенно ориенти­роваться в мире чисел вида а/Ь, ребенку с героем приходится осваивать целый ряд до­полнительных характеристик этого матема­тического объекта, таких как "сократимая дробь", "несократимая дробь", "правильная дробь", "неправильная дробь", "смешанное число" и т.д. Кроме того, ребенок приобре­тает новые процедурные знания, то есть, следую тексту, он пересматривает извест­ные ему операции над числами примени­тельно к действиям с новыми числами. Да­лее, обогащению содержания понятия "ра­ционального числа" способствует знакомст­во ребенка с ситуацией, в которой он может убедиться в том, что между двумя рациональ­ными числами (19 и 20) помещается сколь­ко угодно других чисел, и т.д.

Перенос. В тексте создаются условия для самостоятельного переноса усвоенных понятий, касающихся рационального положи­тельного числа, на числа, расположенные левее нуля на числовой оси. В дальнейшем в учебном пособии "Алгебраические дро­би" (Т класс) знания о числе вида а/Ь ис­пользуются в качестве основы для построе­ния теории математических объектов вида А/В, где Аи В — многочлены.

Свертывание. В итоге накопленные све­дения о рациональном числе должны быть

свернуты на уровне единого — целостного, обобщенного и динамического — представ­ления о сути соответствующего математи­ческого объекта. Решению этой задачи спо­собствует, в частности, специальный вопро­сник из 11 вопросов, предлагаемый детям в конце данного учебного пособия. Каждый во­прос, сформулированный в заведомо пара­доксальной форме, выступает в качестве' катализатора процесса свертывания знаний ребенка. Например, вопросы типа: "Какими мерками меряют в Ивановом царстве то, что нельзя целой меркой измерить? Какими мер­ками меряют в Еленином царстве то, что нельзя целой меркой измерить?", "Можно ли узнать, какое царство числами богаче? Ива­ново? Еленино? Или чисел в царствах по­ровну?" и т.д.