Учебник развивающего обучения: каков он?

Э.Г.Гельфман, М.А.Холодная,

Л.Н.Демидова, Н.Б.Лобаненко и

другие авторы проекта МПИ

(Наша школа. – Владимир. – 1997. - № 2-3. – С.9-14).

Группа российских ученых под руководством Э.Г. Гельфман уже более 20 лет работает над созданием и внедрением в школьную практику образовательного про­екта "Математика. Психология. Интеллект" (МПИ). Цель, ради которой работают авто­ры проекта МПИ, — развитие интеллектуаль­ных возможностей каждого ребенка, имен­ного каждого, конкретного, живого ребенка с его непредсказуемостью и уникальностью.

Разрабатывая пути достижения этой цели, авторы проекта строят свою психоло­гически ориентированную модель — обога­щающую модель обучения. Она призвана дать ребенку не только право, но и возмож­ность полноценного человеческого развития в максимально возможном диапазоне роста его индивидуальных психических ресурсов.

Основные идеи авторов проекта МПИ ре­ализованы в книгах по математике для де­тей 10-15 лет.

В МПИ-серию входит ряд книг: 1. Де­сятичные дроби в Муми-доме. 2. Натураль­ные числа и десятичные дроби. Практикум. 3. Положительные и отрицательные числа в театре Буратино. 4. Дело о делимости. 5. Про Ивана-Царевича, Елену Прекрасную и рациональные числа. 6. Знакомимся с ал­геброй. 7.Тождества сокращенного умноже­ния. 8. Алгебраические дроби. 9. Книга о кор­нях. 10. Квадратные уравнения. 11. Нера­венства. 12. Сказка о спящей красавице, или Функция. 13. Системы уравнений. 14. Квад­ратичная функция. 15. Последовательности. 16. Геометрия для младших школьников (в трех частях). 17. Психологические механиз­мы развития интеллекта. 18. Психологичес­кий практикум. 19. Дидактика математики.

Учителя оценивают серию книг МПИ по-разному: одни их с удовольствием прини­мают и с увлечением используют в своей работе, другие — осторожно "поглядывают" на них "издали" и извлекают из них то одну, то другую учебную задачу, проблемную си­туацию и т.д., но использовать МПИ-учебники в полной мере не решаются, третьи — с чрезмерной долей агрессии их отвергают, отмечая все-таки "некоторую привлекатель­ность комплексов-заданий". Единственной оценки, которой книги МПИ не получают ни­когда — это оценки равнодушной. Что же отличает учебные книги серии МПИ от тра­диционных школьных учебников? Попробу­ем ответить на этот вопрос.

В традиционном обучении содержание школьного учебника выступает в качестве проекции содержания соответствующей на­уки в ее преломлении через доминирующие культурные Ценности. Сам учебник при та­ком подходе может быть сделан по типу справочника, сборника задач, хрестоматии по основам наук.

Авторы проекта МПИ разделяют точ­ку зрения тех ученых, которые считают, что нужны школьные учебники принци­пиально нового типа — нужны учебники, способные выполнять роль интеллекту­ального самоучителя. Но для этого необ­ходимо изменить принципы конструирова­ния учебного текста. В частности, подобно­го рода учебник по своему содержанию и форме должен быть проекцией уже не толь­ко научного знания, но и основных психоло­гических линий интеллектуального развития детей, в том числе линий, связанных с уче­том особенностей состава и строения мен­тального (умственного) опыта ребенка.

Перечислим общие требования к пси­хологической основе конструирования учебных текстов, которые в связи со ска­занным выше учитывались при создании се­рии "Математика. Психология. Интеллект":

I. Содержание учебного текста является психологически многоуровневым, поскольку отдельные его "дозы" обращены к разным компонентам ментального опыта ребенка. В частности, текст учебных пособий организо­ван так, что в нем представлены аналитико-логическая, визуальная, практическая, алго­ритмическая, "невозможная" линии ведения учебного материала, заложены основы для формирования основных компонентов метакогнитивного опыта, активизации интенционального опыта и т.д.

2. Учебный текст представлен либо в форме сюжетной исто­рии (5-6 классы), либо с использованием эле­ментов интеллектуальной игры в виде мыс­ленного эксперимента, самостоятельного ис­следования, моделирования и т.д. (7-9 клас­сы). Дело в том, что учебник сможет быть самоучителем при условии максимальной вовлеченности ребенка в работу с текстом.

3. Обучающие задания характеризуются: наличием определенного психологического адресата (одни из них развивают компонен­ты понятийного мышления, другие — метакогнитивные навыки и т.д.); отсутствием жесткого давления условий и требований; многовариантностью исходных данных и путей их рассмотрения; ориентацией ребен­ка на анализ решений посредством уточня­ющих, проблемных вопросов; погружен­ностью в реальные жизненные впечатления и т.д.

4. Основная часть учебных текстов организована в виде прямых и косвенных ди­алогов (общаются между собой герои книг, через текст идут постоянные обращения к ребенку-читателю и т.д.).

Более детальные изменения в конструк­ции учебного текста связаны с реализацией ряда дополнительных требований к органи­зации учебной информации, среди которых мы в качестве важнейших выделили бы сле­дующие:

I. Учет психологических особен­ностей процесса образования понятий.

2. Создание условий для становления ба­зовых интеллектуальных качеств личнос­ти.

3. Формирование метакогнитивной осведомленности.

4. Обеспечение пси­хологически комфортного режима ум­ственного труда.

Рассмотрим каждое из этих требований более подробно.

I. УЧЕТ ПСИХОЛОГИЧЕСКИХ ОСОБЕННОСТЕЙ ПРОЦЕССА

Образования понятии.

Л. С. Выготский, изучая закономерности умственного развития ребенка, пришел к за­ключению, что именно образование понятий является ключом к пониманию процессов психологического развития и психологичес­кого распада.

Важно подчеркнуть следующий мо­мент: усвоение понятий (как внешних ре­бенку единиц научного знания) и образо­вание понятий (как когнитивных структур) — это не тождественные явления. Беспоко­иться, следовательно, нужно не просто об усвоении понятий, а о выстраивании в мен­тальном опыте ребенка понятийных психи­ческих структур как психологических носи­телей понятийного знания.

Этому в учебных МПИ-пособиях служат задания, направленные на развитие основ­ных компонентов (аспектов, сторон) поня­тийного мышления.

Были выделены задания нескольких ос­новных типов (хотя, безусловно, все они в той или иной мере, психологически взаимо­пересекаются между собой).

1 .Задание на формирование способ­ности к словесно-образному переводу, т.е. переводу математической информации с "языка" знаково-символического на "язык" рисунков-образов разной степени обобщен­ности. В данном случае речь идет не столь­ко о развитии образной формы репрезента­ции математического знания, сколько, в пер­вую очередь, о возможности одновремен­ной работы двух основных субъективных систем кодирования и переработки инфор­мации — знаковой и визуальной. При этом учитывалось, что образный "язык" понятий­ной мысли обладает определенной специ­фикой. Так, в образах должны воспроизво­диться существенные черты соответствую­щего математического явления, образ до­лжен быть обобщенным, хорошо структури­рованным и данимичным (готовым к разно­образным трансформациям), нормативные (заданные) образы должны сочетаться с образами индивидуализированными (со­зданными самими учащимися).

К этой группе заданий относятся зада­ния, активизирующие образное мышление учащихся, формирующие умение оформлять свои мысли в знаковой форме, а также поз­воляющие осуществлять перевод с одного языка кодирования и переработки информа­ции на другой. Приведем пример одного из таких заданий из книги "Квадратичная фун­кция" (9 класс).

Задание. Заполните таблицу, установив взаимосвязь между понятиями:

Из теории квадратных уравнений и неравенств	Из теории квадратичной функции
Решить уравнение: ax2+bx+c=0 (а ≠ 0)
Уравнение ax2+bx+c=0 (а ≠ 0)	График функции
	у=ах2+bх+с (а>0)
неравенство ax2+bx+c>0	не пересекает оси Ох
неравенство ах2+bх+с<0
	Найти абсциссы точек пересечения графиков функций: у=2х2 и у=2х+5
	График квадратичной функции пересекает ось абсцисс в точках: А(-3; 0); В(2; 0)
Один из корней квадратного уравнения ax2+bx+c=0 равен нулю
	Функция у=ах2+bх+с принимает только положительные значения
	Функция у=ах2+bх+с принимает только отрицательные значения >
Неравенство ax2+bx+c>0 не имеет решений

|~27| Задания на подключение предмет­ного (житейского) опыта детей. По мне­нию Дж. Брунера, образование понятий ухо­дит своими корнями в глубинные структуры индивидуального опыта, связанного, в час­тности, с основными формами презентации реальности в человеческом сознании — че­рез действие, чувственное впечатление и знаковый символ. Поэтому, добиваясь вза­имодействия житейского опыта ребенка (в том числе и его так называемых житейских понятий) или тех научных знаний, которые предлагаются ему в учебном процессе, мы одновременно решаем две задачи: с одной стороны, под влиянием научного знания про­исходит артикулирование и обогащение ин­дивидуального опыта ребенка, с другой — многообразие порождаемых окружающим миром впечатлений начинает оказывать ак­тивное влияние на процесс образования понятий, что в целом обуславливает возмож­ность появления собственно "личностного знания".

В 5 классе предлагаются задания, в ко­торых дети сталкиваются с такими случаями из практики где "старых" чисел недостаточ­но, и это приводит к необходимости искать "новые" числа, новые пути решения старых задач.

. Пример 1. "Придумайте и вырежьте из бумаги мерки, с помощью которых можно измерить:

а) длину и ширину стола, длину каран­даша, подошвы своего ботинка;

б) площадь тетради, книги;

в) выберите мерку для определения объ­ема ведра.

Запишите результаты измерений, полу­ченные с помощью ваших мерок."

С какими трудностями вы встретились при решении этой задачи?

Пример 2. "Трем портнихам дали по 16 м ткани и попросили сшить по 5 одина­ковых платьев.

Первая портниха, поразмыслив, сдела­ла себе такую запись:

16м:5=3 (ост. 1) м

I--1 I---11--II--1 I--1 I--1

[Зм] [3mJ |3mj[3mJ [3mJ \Ьа]

Другая рассудила иначе: 160 дм:5=32дм=3,2м;

А третья решила сшить платье с поясом и пометила для себя: 16:5=3,2

Если вы собе­ретесь шить несколько оди­наковых плать­ев, какой из способов деле­ния ткани вы выберете?"

В 7 классе , в книге "Алгебраические дроби" предлагается рассмотреть практи­ческую задачу, решение которой приводит 1 к понятию "алгебраическая дробь".

Пример 3. "Два прогулочных теплохода совершают рейсы от одной пристани до дру­гой и обратно. Но... один теплоход плывет по реке, а другой — по озеру. Собственные скорости теплоходов и расстояния между пристанями одинаковы. Одинаковое ли вре­мя уйдет на прогулку по озеру и по реке?"

Учебные тексты содержат также различ­ные практические и лабораторные работы, привлекающие предметный опыт ребенка.

|_3.] Задания на выделение признаков усваиваемого понятия, ориентирующие ребенка на выявление множества воз-

Зм Зм Зм Зм Зм

16	: 5 = 3,2
15	единицы
10 десятые

можных признаков, их дифференциа­цию, соотнесение различных признаков в условиях изучения положительных и отри­цательных примеров понятия, его возмож­ных "масок" и т.д.

Конечно же, существенные признаки по­нятия содержатся в его определении. Од­нако, в силу словесной подачи определе­ния, признаки понятий остаются закрытыми для учащихся, и они не могут сделать выво­ды из факта наличия этих признаков для решения конкретных задач. Кроме того, час­то важным оказывается знание не сущес­твенных признаков, а их многообразия.

В книге "Квадратные уравнения" уча­щимся предлагаются задания, направленные на работу с признаками этого понятия. При­ведем примеры таких заданий.

Пример 1. "Приведите к виду ах^г+Ьх+с=0 следующие уравнения:

а) 5х²=14х-8;

б) -6х-х²=0;

в) х²+2-5,3=0;

г) 1/2=6х²-3/8х;

д) У5хг+г=0;

е) 8,73х²=0.

Назовите первый, второй коэффициенты и свободный член каждого уравнения. Какие значения могут принимать коэффициенты а, Ь, с в квадратном уравнении? На какие груп­пы вы разбили выданные уравнения в зави­симости от значений их коэффициентов?"

Пример 2. "Запишите квадратное урав­нение, у которого:

а) коэффициенты — натуральные числа;

б) коэффициенты — целые числа;

в) коэффициенты —действительные чис­ла;

г) свободный член равен 5, первый ко­эффициент равен 1, а второй — 7;

д)а=Ь=с-12,3;

е) коэффициент при х² равен 1;

ж) второй коэффициент равен у 3+4;

з) с=0, Ь=0; и) а>0, с=0."

Пример 3. "Можно ли любое квадрат­ное уравнение с действительными коэффи­циентами заменить на равносильное ему квадратное уравнение:

а) с положительным первым коэффици­ентом;

б) с первым коэффициентом, равным 1?

Как это сделать? Упрощает ли это вы­числения по формуле корней? Приведите примеры."

Пример 4. "Какая тройка чисел: (13200; 264000; 66100); (1; 0,5; 0,7); (25; 0; 1/4)

а) задает неполное квадратное уравне­ние;

б) задает приведенное квадратное урав­нение?

Запишите эти уравнения и решите их.

Можно ли перед нахождением корней эти уравнения упростить?

Запишите для каждого из полученных уравнений по два равносильных ему урав­нения.

Что можно сказать о коэффициентах рав­носильных квадратных уравнений?"

Пример 6. "Какое из уравнений:

х²+Зх-4=0;

1+Зх+4х²=0

является приведенным?

Запишите уравнения с такими же корня­ми, но:

а) с дробными коэффициентами;

б) с другими целыми коэффициентами;

в) с иррациональными коэффициента­ми/'

| 4. Задания на включение исходного

понятия в систему связей с другими по­нятиями. Сюда входят задания, устанавли­вающие связи между понятиями внутри ма­тематики: натуральные числа и десятичные дроби; разные виды чисел, уравнений и фун­кций, уравнения, неравенства и функции и т.д. Далее, поскольку развитие понятийного мышления предполагает осознание не толь­ко связей между понятиями внутри матема­тики, но и математических понятий с поня­тиями из других областей знаний, учащим­ся предлагается сделать экскурс в геогра­фию и экономику, биологию и технику.

Кроме того, межпонятийные соотноше­ния прослеживаются при анализе этапов развития того или иного понятия в истории математики.

Пример 1. Шестиклассникам предлага­ется проследить связь между различными множествами чисел, проследить как разви­вались понятия в математике.

"Ох, и богато царство иррациональных чисел! Как управлять-то ими? Надо еще ра­зобраться, какое число куда пристроить, ка­ким именем называть.

Известно, что множество натуральных чисел обозначается буквой N, множество целых чисел — буквой Z, множество рацио­нальных чисел — буквой Q.

Попробую-ка я, — подумал Иван, — хотя бы тринадцати числам раздать имена". Со­ставил таблицу и стал в ней звездочки рас­ставлять.

	N	Z	Q
101	*	*	*
2
34
-1		*	*
0
-10931
25
-13
1
"з
-2
7~
14
3
-17	•
-2534
1000

Помогите Ивану остальные звездочки расставить.

У каких чисел оказалось три имени? Толь­ко одно имя?"

Пример 2. В старых книгах черепахи Тортилы есть записи:

"Сумма двух имуществ — есть имущест­во, двух долгов — долг, имущества и долга — их разность, а если они равны — нуль. Сумма нуля и долга есть долг, имущества и нуля — имущество, двух нулей — нуль". *

"Если разного названия, то вычитается, если одинакового названия, то прибавляет­ся; если положительное без пары, то стано­вится положительным; если отрицательное без пары, то становится отрицательным". **

Переведите эти тексты на современный математический язык.

\5. Задания на развития основных мыслительных операций, лежащих в ос­нове образования понятий (таких, как сравнение, конкретизация и абстраргирова-

________________________________________________________________

*Правила, составленное индийским математи­ком Брахмагуптой (род. 598 г.).

"Это правило по-китайски звучит "чжен-фу", оно взято из дре&нейшего трактата китайских ма­тематиков "Математика в девяти книгах".

ние). Владение мыслительными операция­ми (его субъективной мерой, по Ж. Пиаже, является феномен обратимости операций) позволяет вычленять отношения между объ­ектами мысли, что, несомненно, качествен­но расширяет субъективное пространство осмысления содержания изучаемых понятий.

Пример 1. Учащимся 5 класса предла­гаются задания, выполняя которые, они са­мостоятельно приходят к правилам умноже­ния и деления.

"1. Какое из выражений 4,2+4,2+4,2 или 4,2-4,2-4,2

а) может быть записано в виде 4,2x3?

б) можно проиллюстрировать рисунком:

4,2 ' 4,2 ' 4,2
Пример 2. Ка-
ким способом	а) +4,2
находим значе-	4,2
ние выражения	4,2
4,2x3 в каждом случае:	12,6
б) 4,2 см ■ 3=42 мм - 3=126 мм=12,6 см
в) 4,2.3 =	г) —
= (4+0,2) . 3 =	4,2	4,2
=4.3 + 0,2 . 3=	х з	X 3
= 12+ 0,2 + 0,2 + 0,2 =	12,6	12,6
= 12 + 0,2 . 3 =
= 12,6	"^--

Сформулируйте правило умножения де­сятичной дроби на натуральное число."