Примеры

Рис. 6

1. Пусть А и B — два таких множества, что А - В = В - A=. Можно ли выразить отношение между А и В более простым образом?

В

А

В

F

G

L

А

Рис. 4

Рис. 5

П оскольку А – В =  означает, что А  В = , области, представляющие А и В на диаграмме Венна (рис. 4), не перекрываются. Очевидно, В = В, так что мы получаем АВ (рис. 5). И обратно, если АВ, то, очевидно, А – В = . Мы приходим к выводу, что А – В =  равно­сильно АВ. Поменяв ролями А и В, мы получим, что В – А =  равносильно ВА. Таким образом, заданные отношения между А и В равносильны тому, что АВ и ВА, т. е. А = В.

2. Рассмотрим вопрос, можно ли указать три таких подмножества А, В и С универсального множества U, для которых одновременно имели бы место следующие соотношения:

С  , А  В  , А  С = , (А  В) – С = .

Из второго условия вытекает, что А и В пересекаются, из чего, кстати, следует, что оба они непусты. Согласно примеру 1 четвертое условие равносильно тому, что A  B  C, из чего видно, что первое условие является излишним. С помощью диаграммы Венна легко убе­диться, что А и С пересекаются, т. е. что второе и четвертое условия противоречат третьему. Следовательно, множеств, одновременно удов­летворяющих всем приведенным условиям, не существует.

3. Пусть F, G и L—такие подмножества множества U, что

F  G, G  L  F, L  F = .

Можно ли на самом деле найти такие множества F, G и L, которые удовлетворяли бы этой совокупности условий? Диаграмма Венна (рис. 6) иллюстрирует только первое и третье условия. Но теперь из второго условия следует, что L и G не могут пересекаться, так что G  L = . С другой стороны, если F  G и G  L = , то выполняются все задан­ные условия. Таким образом, данная система условий может быть све­дена к более простой: F  G и G  L = .

Упражнения

Замечание. В упражнениях 1–8 надо обойтись без использова­ния диаграмм Венна.

1. Доказать, что для любых множеств А и В верно   А  В  A  В.

2. Пусть универсальным множеством служит Z и пусть

A = {x  Z для некоторого положительного целого числа у х = 2у,

В = {x  Z для некоторого положительного целого числа у х = 2у – 1}.

С= x  Zx10.

Опишите множества А, А  В, С, А – С и С – (А  В) словесно или с помощью определяющего свойства.

3. Рассмотрим следующие подмножества множества целых положи­тельных чисел Z⁺:

A = {x  Z⁺ для некоторого положительного целого числа у х = 2у,

В = {x  Z⁺ для некоторого положительного целого числа у х = 2у + 1}.

С= x  Z⁺ для некоторого положительного целого числа у х = 3у.

1. Опишите А  С, B  C и В – С .

2. Проверьте, что A  (В  С) = (А  B)  (A  С).

4. Пусть А – произвольное множество. Что представляют собой следующие множества: А  , А  , А – ,  – А,?

5. Определите:   ,   , ,  – , ,  – , ,  – .

6. Пусть А и В – подмножества множества U. Покажите, что для каждой приведенной ниже системы соотношений (а), (Ь) и (с) из спра­ведливости одного соотношения системы вытекает справедливость всех других соотношений данной системы:

1. А  В, А  В, А  В = В, А  В = А;

2. А  В = , А  В, В  А;

3. А  В = U, А  В, В  А.

7. Докажите, что для произвольных множеств А, В и, С

(А  В)  С = А  (В  С) равносильно С  A.

8. Докажите, что для произвольных множеств А, В и С

(А – В) – С = (А – С) – (В – С).

9. (а) Постройте диаграмму Венна, соответствующую симметрической разности А + В множеств А и В;

2. с помощью диаграммы Венна покажите коммутативность и ассоциативность операции симметрической разности;

3. покажите, что для любого множества А А + А = , А +  = А.

10. На диаграмме Венна для подмножеств А, В и С универсального множества U прямоугольник, соответствующий U, разбивается, вообще говоря, на восемь не перекрывающихся областей. Укажите, какие ком­бинации множеств А, В и С соответствуют каждой из этих областей.

1 1. С помощью диаграмм Венна исследуйте вопрос о справедливости каждого из следующих рассуждений:

(a) Если А, В и С – такие подмножества множества U, что А  В  С, А  С  В, то А  С = .

( b) Если А, В и С – такие подмножества множества U, что А  В  С и В  А  С, то В = .