1.9. Композиция и обращение функций

Чтобы читателю был ясен смысл следующего определения, мы рас­смотрим вначале один пример. Пусть функции f и g определены сле­дующим образом:

f: R →R, причем f (х) = 2х +1;

g: R ⁺ → R ⁺, п ричем g (х) = х^½.

Хорошо известно, что из такой пары функций можно образовать новую функцию h, такую, что h(x)=g(f (x)). Поскольку область опреде­ления функции g по определению есть R⁺, то для того, чтобы h(x) было определено, значения х должны быть ограничены такими действитель­ными числами, для которых 2x+1>0. Иными словами, комбинируя таким образом функции fug, мы получаем функцию, область опреде­ления которой есть множество действительных чисел больших, чем—½, и значение которой для аргумента х есть g (f (х)) = (2х+1)^½.

Основная идея этого примера как раз и сохранена в следующем определении. Пользуясь обозначениями, введенными нами ранее для упорядоченных пар, мы сможем избавиться от ограничений, связанных с возможным различием между областью значений функции fи областью определения функции g. Композицией функций fug, символически обо­значаемой через g o f, мы будем называть

{<x, z> | существует такое у, что xfy и ygz}.

Читателю предоставляется доказать, что это отношение является функ­цией. Сама описанная операция над функциями также называется (функ­циональной) композицией¹. Стоит отметить следующий частный случай нашего определения. Если f:X→Y, a g:Y→Z, то gof:X→Z и (gof)(x)=g(f(x)).

Из приведенного только что примера видно, что операция функцио­нальной композиции не коммутативна: равенство fog = gof редко бывает справедливым. Однако композиция — ассоциативная операция. Иначе говоря, для произвольных функций f, g, h

fo (goh)=(fog) oh

Чтобы доказать это, допустим, что <x, u>fo (goh). Тогда найдется такое z, что <x, z>goh и <z, u>f. Поскольку <x, zy>goh, сущест­вует такое у, что <x, y>h и <у, z>g. Но из <y, z>g и <z,u>f следует, что <у, u>fog. Наконец, из <х, y>h и <y, u>fog следует, что <'x, u> (fog)oh. Проведя все шаги этого рассуждения в обратном порядке, мы получим и противоположное включение, а следовательно, и нужное равенство.

¹ Или суперпозицией; в оригинале для операции композиции и ее резуль­тата употребляются различные, хотя и похожие термины: соответственно, composition и composite.—Прим. перев.

Приведенное доказательство, возможно, станет более ясным для чи­тателя, если он сформулирует его в терминах значений функций. В то же время наше доказательство, исходящее из приведенного выше опре­деления функциональной композиции, обладает тем достоинством, что мы не обязаны принимать во внимание обстоятельства, связанные с раз­личием между областью значений функции f и областью определения функции g. Из ассоциативного закона для композиции следует и обоб­щенный ассоциативный закон, который мы предоставляем сформулиро­вать читателю. Единственная функция, определяемая посредством ком­позиции функций f₁, f₂, ...., f_n, взятых в этом порядке, будет в даль­нейшем обозначаться просто через

f₁of₂o . . . of_n

Примеры А

1. Пусть h:R→R+, где h(х) = (1 + x²)^½. Тогда h = gof, где f:R→R+, причем f(x)= 1 +х², a g:R⁺→R⁺, причем g(x) — x^½. Это как раз то разложение функции h, которым пользуются при вычислении ее произ­водной.

2. Разложение произвольной функции можно провести и способом, несколько отличным от описанного в предыдущем примере, воспользо­ вавшись некоторыми уже обсуждавшимися нами понятиями. Введем прежде всего еще одно определение. Пусть р есть отношение эквива­ лентности с областью определения X; тогда отображение

j:Х→Х/ρ, где j(x) = [x],

принимает значения на фактормножестве Х/ ρ; j называется каноническим, или естественным отображением множества X на Х/р. Если, далее, f есть некоторое отображение X в Y, то отношение, определенное посред­ством

х₁ ρ х₂, если f(x₁) = f(x₂),

есть, очевидно, отношение эквивалентности на X. Пусть j — канони­ческое отображение множества X на Х/ ρ. Мы утверждаем, что равен­ство g[x] = f (x) определяет функцию g, определенную на Х/ρ со значе­ниями в f [X] (область значений функции f). Чтобы доказать, что g является функцией, надо установить, что из [x] = [y] следует f(x) = f(y). Но [x]= [y] тогда и только тогда, когда хρу, что, в свою очередь, спра­ведливо в том и только в том случае, когда f(x) = f(y). Следовательно, g есть функция. Пусть, наконец, i есть инъекция множества f[X] в Y.

Подведем итоги. Мы определили три функции j, g и i:

j:X→X/ρ, где j (х) = [х],

g:X/ ρ →f[X], где g[x]=f(x).

i:f[X] →Y, где i(y) = y.

Ясно, что функция j принимает значения на Х/ ρ, a i взаимно-одно­значна. Предоставляем читателю убедиться в том, что g взаимно-одно­значна и принимает значения на f[X] и что

f = iogoj.

Это равенство и было нашей целью. Из него следует существование разложения произвольной функции f; разложение это во многих случаях оказывается полезным.

3. Если f есть известная функция с областью определения X, область значений которой есть некоторое подмножество множества Y, то обозна­чение f:X→Y несет в себе избыточную информацию. Предполагается, однако, что рассмотрение f в качестве функции связано с парой <Х, У> множеств X и Y. Если g:Y→Z аналогичным образом связано с парой <У, Z>, то композиция gof должна быть связана с парой <Х, Z>. Свя­зывание каждой функции f с парой множеств X и Y, из которых первое есть область определения функции f, а второе включает в себя ее область значений, и соглашение, согласно которому композиция gof функций f:X→Y и g:W →Z может быть образована лишь в случае W=Y, имеют определенные достоинства. Например, идя по этому пути, можно охарактеризовать свойство «принимать значения на» (наряду со свойством «взаимно-однозначно») как некоторое -свойство функций. Кроме того, можно определить оба эти свойства как, в некотором (поясняемом ниже) смысле, двойственные.

Характеристику свойства «взаимно-однозначно» можно дать следую­щим образом:

(I) Пусть f:X→Y. Тогда f взаимно-однозначна тогда и только тогда, когда для любых функций g и h таких, что g:Y→X и h:Y→X, из fog = foh следует g = h. В самом деле, пусть f:X→Y взаимно-одно­значна и пусть g:Y→ X, h:Y→ X и fog = foh. Тогда /(g(у)) = f (h(у)) для всех у из Y. Отсюда и из взаимно-однозначности функции f выте­кает, что g(y) — h(y) для всех у из Y. Таким образом, g=h. Доказа­тельство обратного утверждения предоставляется читателю.

Простое видоизменение утверждения (I) дает и характеристику свой­ства «принимать значения на».

(II) Пусть f:X→Y. Тогда f принимает значения на Y тогда и только тогда, когда для любых функций g и h таких, что g:Y→X и h:Y→X, из gof — hof следует g= h. Доказательство предоставляется читателю.

С помощью (I) и (II) разложение, полученное в примере 2, можно описать более ясно следующим образом. Для каждой функции f суще­ствует взаимно-однозначная функция i, принимающая значения на функ­ция f и взаимно-однозначная, принимающая значения на функция g такие, что f = iogoj.

Если поменять местами координаты каждого элемента функции f (рас­сматриваемой как множество упорядоченных пар), то в результате полу­чится некоторое отношение g, которое может и не быть функцией. В са­мом деле, g будет функцией в том и только в том случае, если из того, что <y, х> и <y, z> принадлежат g, следует, что x = z. В терминах, от­носящихся к функции f, это означает, что из того, что <x, y> и <z, y> принадлежат f, следует, что x = z, т. е. что f взаимно-однозначна. Если f взаимно-однозначна, то функция, получающаяся из f переменой мест координат элементов функции f, называется функцией, обратной к f , и обозначается через f ^-1. Эта операция, определяемая только для вза­имно-однозначных функций, называется (функциональным) обращением. Если f ^-1 существует, то область ее определения есть область значений функции f, ее область значений есть область определения функции f, и x = f ^-l(y) равносильно y = f(x). Далее, f ^-1непременно взаимно-одноз­начна, причем обратная к ней функция (f ^-1) ^-1 совпадает с f. Если f — взаимно-однозначная функция, определенная на X со значениями на Y, то f ^-1 —взаимно-однозначная функция, определенная на Y со зна­чениями на X. Наконец,

f ^-1 o f = i_x и fo f ^{-1 =}i_y.

Имеется еще одна важная связь между операциями композиции и обращения функций. Если fug взаимно-однозначны, то gof также взаимно-однозначна, причем

(gof)^-1 = f^-1 o g^-1

Доказательство последнего утверждения мы предоставляем читателю.

Примеры В

1. Функция f:R→R, где f (x) = 2x+1, взаимно-однозначна. Обра­щение функции f может быть записано в виде {<2x+1, x>|xR}. Но такое описание, конечно, не удовлетворит того, кто предпочел бы рас­полагать определением функции через ее область определения и значение для каждого элемента из области определения.

Чтобы удовлетворить такому пожеланию, мы заметим, что

{< 2x + 1, x >  x R} = { < t, ½ (t-1) > t  R}

Таким образом, f ^-1 есть функция, определенная на R со значениями в R и такая, что f ^-1 (х) = ½(х—1).

2. Функция g:R⁺→R⁺, где g(x)=x², взаимно-однозначна, так как из х₁² = х₂² при условии, что х_х и х₂ положительны, следует х₁ = х₂. Тогда

g^-1 : R⁺→ R⁺, где g^-1(x) = x ^½

3. О функции f:R→R⁺, где f(x)=10^x, известно, что она взаимно­однозначна и принимает значения на. Функция, обратная к функции f, называется логарифмической функцией по основанию 10 и значение ее для аргумента х записывается в виде log₁₀ х .

Уравнения

log₁₀10^x=x, где x R

и

10^log10x = x, где х>0,

являются частными случаями уравнений (f ^-1 of)(x)=x, где xD_f, и (fof ^-1)(x)=x, где xR_f, справедливых для любой взаимно-однозначной функции.

4. Если для функции f:R→R существует обратная, то график функ­ ции f ^-1 можно получить из графика функции f зеркальным отражением относительно прямой у = х. Доказательство предоставляется читателю.

5. Согласно четвертому из примеров В в § 1.8, если для некоторой функции fопределена обратная функция, то

f ^-1[A B] = f ^-1 [A] f ^-1 [B]

и

f ^-1[A ∩B] = f ^-1 [A] ∩f ^-1 [B]

Последнее соотношение можно усилить: для обратных функций f^--1[А∩ ∩B]= f^--1 [A]∩ f^--1 [B]. Доказательство предоставляется читателю. Мно­жество вида f ^-l [А] мы будем называть прообразом множества А при f.

Упражнения

1. Пусть f:R→R, где f(х) = (1 +(1—х)^1/3)^1/5. Представить f в виде композиции четырех функций, ни одна из которых не есть тождественная функция.

2. Доказать, что если f:X→У и АХ, то fA = foi_A.

3. Завершить доказательства утверждений, высказанных во втором из примеров А.

4. Завершить доказательство утверждения (I) и доказать утвержде-­ ние (II) в третьем из примеров А.

5. Доказать, что f:A→В есть взаимно-однозначное соответствие между А и В тогда и только тогда, когда существует такое отображе­- ние g:B→ А, что gof = i_A и fog=i_B.

6. Доказать, что если f:A→В и g:B→C взаимно-однозначны и принимают значения на, то gof : A→С также взаимно-однозначна и принимает значения на, причем (gof)^-1 = f^-1og^-1.

7. Пусть f:A→ А; обозначим, как обычно, через f ⁿ функцию fоfо ... оf (п вхождений буквы f). Доказать, что если fⁿ = i_A, то f взаимно-однозначна и принимает значения на.

8. Доказать теорему 1.5 в следующей формулировке: для любого множества X существует взаимно-однозначное соответствие между мно­- жеством отношений эквивалентности на X и множеством разбиений мно­- жества X.

9. Доказать, что если у функции f:R→R есть обратная, то график функции f ^-1 можно получить зеркальным отображением графика функ-­ ции f относительно прямой у =х.

10. Доказать, что каждая из следующих функций имеет обратную. Найти область определения каждой из этих обратных функций и ее зна­- чения для каждого элемента области определения. Начертить графики каждой обратной функции.

1. f : R→R, где f (x) = 2x-1;

2. f:R→R, где f (x) = x³;

3. f = {<x, (1-x²)^1/2> 0≤ x ≤1};

4. f ={ <x, x/(x-1)> - 2≤ x <1}.

11. Доказать тождество (gof) ^-1 = f ^-1o g^-1для взаимно-однозначных функций f и g.

12. Доказать, что если функция f имеет обратную, то f ^-1 [A∩B] = f ^-1 [А]∩ f ^-1 [В]