Модель гибкого акселератора Койка.

1. Непрерывное время.

Проиллюстрируем принцип акселерации простым числовым примером [Ошибка! Источник ссылки не найден., т.1, с.246-248]. Пусть величина капитального оборудования в 10 раз превышает стоимость реализованной продукции. Допустим, объем реализации – 6 млн. руб., то есть оборудование оценивается в 60 млн. руб. Пусть оно состоит из 20 машин разного возраста, причем ежегодно изнашивается и подлежит возмещению 1 машина. Значит, инвестиции (I) составят 3 млн. руб., или 1 машину; остаток Y–I, равный 6 млн. руб. дадут в сумме заработная плата и прибыль. Пусть выпуск возрастет до 9 млн. руб., то есть на 50 процентов. В таком случае потребуется объем основного капитала (K) в размере 30 штук, или 90 млн.руб. При этом инвестиции составят I=10+1=11, что будет означать их рост на 1000 процентов.

В непрерывном времени модель гибкого акселератора (Койка) описывается линейным дифференциальным уравнением [Ошибка! Источник ссылки не найден., Ошибка! Источник ссылки не найден., Ошибка! Источник ссылки не найден.]:

. (17)

Это так называемая система с запаздыванием. В ней скорость изменения переменной зависит от ее отставания по отношению к своему оптимальному значению [Ошибка! Источник ссылки не найден., с.74-75]. Здесь λ – это коэффициент ускорения, или акселерации:

.

Разделяем переменные в (17):

. (18)

Поскольку , можно записать

; (19)

а значит, . (19.1)

Потенцируем (4.45) и снимаем модуль адекватным подбором константы C₁ (допуская отрицательные и нулевые значения)

, или . (20)

Определяем константу C₁ по значению запаса капитала в начальный момент времени

; ; (20.1)

В итоге траектория динамики запаса капитала такова (рис.4.3-4.4):

. (21)

Традиционно, в силу очевидных экономических соображений, полагается, что 0<λ<1.

Подставляя полученное выражение текущего запаса капитала (21) в модель гибкого акселератора (17), можно получить траекторию динамики инвестиций во времени

.

2. Дискретное время.

В дискретном времени модель гибкого акселератора описывается конечно-разностным уравнением: , (22)

или . (22.1)

Выпишем соответствующее соотношение между запасами капитала в нулевом и первом периодах: . (22.2)

С учетом (22.2) можно перейти от зависимости между капиталом во втором и первом периодах – к соотношению между фондами второго и нулевого временн интервалов: . (22.3)

Аналогично, соотношение между запасами капитала в третьем и нулевом периодах будет выглядеть так:

. (22.4)

Соответственно, зависимость объема основных фондов в момент t от исходного запаса капитала таково ^{REF _Ref220477857 \r} :

(22.5)

Данное решение можно получить также, используя теорию уравнений в конечных разностях ^{REF _Ref220477857 \r} :

; . (22.1)

Решим соответствующее однородное уравнение

. (2)

Распишем соотношение (2) для всех периодов, начиная с нулевого и кончая моментом t: ,

,

…

.

Перемножая почленно написанные равенства, после сокращения на произведение получим искомое решение однородного уравнения [Ошибка! Источник ссылки не найден., с.292-294]

. (4)

Проварьируем величину K₀:

. (5)

Уравнение (4) приобретает вид: . (10)

Подставляем (10) в исходное неоднородное уравнение (22.1):

, (11)

или . (12)

Суммируя в пределах от до , получаем

. (8)

Подставляя полученную таким образом неизвестную величину в общее решение (10) однородного уравнения (2), получаем общее решение неоднородного уравнения (22.1) . (9)

Определим константу : ; .

Таким образом, как и в теории дифференциальных уравнений, общее решение неоднородного линейного разностного уравнения первого порядка представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения: .

При λ<0 и при λ>2 равновесие неустойчиво (при )

При 0<λ<2 равновесие устойчиво.

При λ=0 .

При λ=2 :

при t=2n ; при t=2n+1 .

Таким образом, траектория динамики инвестиций в дискретном времени будет следующей:

Поскольку оптимальный запас капитала зависит от реальной процентной ставки (12.4), инвестиции (17), (22) так же будут являться функцией ставки процента (рис.1,2).