- •I. Обыкновенные дифференциальные уравнения (оду)
- •Линейные уравнения. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для линейного уравнения n-го порядка.
- •Линейно зависимые и линейно независимые системы функций. Определитель Вронского.
- •4. Необходимое и достаточное условие линейной независимости системы решений линейного однородного уравнения.
- •5. Фундаментальная система решений (фср) линейного однородного уравнения. Теорема о существовании фср.
- •6. Теорема о представлении общего решения линейного однородного уравнения.
- •7. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения.
- •II. Системы оду.
- •8. Системы уравнений в нормальной форме. Задача Коши. Теорема о решения задачи Коши для системы в нормальной форме.
- •9. Линейные системы. Теорема о решения задачи Коши для линейной системы.
- •10. Линейно зависимые и линейно независимые системы вектор-функций. Определитель Вронского.
- •11. Необходимое и достаточное условие линейной независимости решений линейной од-нородной системы уравнений.
- •12. Фср для системы линейных уравнений. Теорема о существовании фср.
- •13.Теорема о представлении общего решения линейной однородной системы.
- •14.Структура общего решения линейной неоднородной системы.
- •III. Автономные систему оду
- •16. Фазовое пространство и фазовые траектории автономной системы.
- •17. Первые интегралы однородной системы. Достаточное условие первого интеграла. Теорема о существовании независимых первых интегралов.
- •18. Устойчивость по Ляпунову и асимптотическая устойчивость положения равновесия автономной системы. Условие асимптотической устойчивости положения равновесия линейной системы.
- •19. Линеризация нелинейной системы в окрестности положения равновесия. Условие асимптотической устойчивости положения равновесия нелинейной системы.
- •20. Фазовые портреты линейных однородных систем с постоянными коэффициентами на плоскости: случаи узла, седла, фокуса и центра.
- •21. Фазовые портреты нелинейных систем. Исследование положения равновесия нелинейной системы на плоскости по линейному приближению. Предельные циклы.
- •22. Фазовая плоскость оду 2-го порядка. Пример: математический маятник.
- •23. Линейные и квазилинейные учп 1-го порядка. Представление общего решения через первые интегралы системы уравнений характеристик.
22. Фазовая плоскость оду 2-го порядка. Пример: математический маятник.
М атематический маятник представляет собой идеальную модель, в которой материальная точка массой m подвешена на невесомой и нерастяжимой нити длиной L. В такой системе происходят периодические колебания, которые можно рассматривать как вращение маятника вокруг оси O
ma=-mg sinx, x-угол
s=xL
,
При x<<1:
Полож. k=1 ,
Положение равновес.: (πk, 0), kϵ
k=2n, ,
в т. (2πn, 0) , λ1,2=
б) k=21n, ,
в т. (2π(n+1), 0) , λ1,2=
Перв.интеграл(закон сохранения энергии):
,
,
23. Линейные и квазилинейные учп 1-го порядка. Представление общего решения через первые интегралы системы уравнений характеристик.
1)Линейные однородные уравнения.
Где - заданные функции-коэф.уравнения, - искомая функция, ϵℝ2
Любое решение ур-ния (1) является 1ым интегралом системы =
Теорема:⊐ т.е. не является положением равновесия системы, тогда в некоторой окрестности U все решения ур-ния (1) задаются ф-ей U =F(U1 ,... Un-1 ), где U1 ,... Un-1 зависимые первые интегралы системы(2), F-гладкая ф-ия.
Система (2) называется системой ур-ний характеристик, а её решения характеристиками сист (1). Систему (2) можно записать в симметрической ф-ме: , т.е.
Пример: , система хар-к ; xdx+ydy=0, d(x2+y2)=0, x2+y2=const, U1=x2+y2
Общее решение УЧП:
2)Квазилинейные (неоднородные) уравнения
Предположение: ф-ии -непрерывно диф-я в нек-ой области и ( , в области
Система хар-к :
Теорема: если V1 ,... Vn-1 зависимые первые интегралы системы(5), то общее решение ур-ния (4) представляется в виде (неявно)