18. Устойчивость по Ляпунову и асимптотическая устойчивость положения равновесия автономной системы. Условие асимптотической устойчивости положения равновесия линейной системы.

(1)

Положение равновесия (т.е. )

Начальное условие (2)

Решение задачи Коши :

Предположение: решение задачи (1), (2) - и , где - некоторая окрестность т. .

Положение равновесия системы (1) называется устойчивым по Ляпунову, если такое, что для и выполнено

Положение равновесия системы (1) называется асимптотически устойчивым по Ляпунову, если оно устойчиво по Ляпунову, и для всех достаточно малых выполнено

(3), A - постоянная (квадратная матрица). (лин. сист.)

Положение равновесия:

Теорема: Положение равновесия системы (3) является асимптотически устойчивым тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы А имеют отрицательные действительные части (4)

19. Линеризация нелинейной системы в окрестности положения равновесия. Условие асимптотической устойчивости положения равновесия нелинейной системы.

(1)

Предположение: вектор функции - дважды непрерывно дифференцируемая в окрестности положения равновесия ф-ия. По формуле Тейлора + .

- матрица Якоби;

Тогда система (1): , где . Положим и отбросим нелинейные слагаемые. (2) - линейная система, полученная линеризацией системы (1) в окрестности п.р. .

Теорема: Если п.р. линейной системы (2) асимптотически устойчиво, т.е. для всех собственных значений матрицы Якоби выполнено условие , то асимптотически устойчиво п.р. .

Теорема: Если матрица Якоби имеет собственное значение такое, что , то п.р. системы (1) неустойчиво по Ляпунову.

20. Фазовые портреты линейных однородных систем с постоянными коэффициентами на плоскости: случаи узла, седла, фокуса и центра.

(1)

Точка (0,0) является положением равновесия системы (1). В зависимости от собственных значений матрицы , различают четыре типа невырожденных особых точек линейных систем: узел, седло, фокус, центр.

1. 

1. действительны и различны

1. одного знака

-устойчивый -неустойчивый

1. разного знака седло

2. 

1. 

устойчивый неустойчивый

2. центр

21. Фазовые портреты нелинейных систем. Исследование положения равновесия нелинейной системы на плоскости по линейному приближению. Предельные циклы.

(2)

Пусть - положение равновесия (2). Линеаризуем (2) в окрестности т. .

(3)

или , где

– матрица Якоби

Теорема. Пусть собственные значения матрицы . Если действительные части для , то фазовые портреты линейной системы (3) и нелинейной системы (2) в некоторой окрестности положения равновесия топологически эквивалентны.

Предельные циклы

Предельным циклом системы называется изолированная замкнутая траектория P этой системы.

У траектории P существует окрестность, целиком заполненная траекториями, асимптотически приближающихся к P при или .