- •I. Обыкновенные дифференциальные уравнения (оду)
- •Линейные уравнения. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для линейного уравнения n-го порядка.
- •Линейно зависимые и линейно независимые системы функций. Определитель Вронского.
- •4. Необходимое и достаточное условие линейной независимости системы решений линейного однородного уравнения.
- •5. Фундаментальная система решений (фср) линейного однородного уравнения. Теорема о существовании фср.
- •6. Теорема о представлении общего решения линейного однородного уравнения.
- •7. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения.
- •II. Системы оду.
- •8. Системы уравнений в нормальной форме. Задача Коши. Теорема о решения задачи Коши для системы в нормальной форме.
- •9. Линейные системы. Теорема о решения задачи Коши для линейной системы.
- •10. Линейно зависимые и линейно независимые системы вектор-функций. Определитель Вронского.
- •11. Необходимое и достаточное условие линейной независимости решений линейной од-нородной системы уравнений.
- •12. Фср для системы линейных уравнений. Теорема о существовании фср.
- •13.Теорема о представлении общего решения линейной однородной системы.
- •14.Структура общего решения линейной неоднородной системы.
- •III. Автономные систему оду
- •16. Фазовое пространство и фазовые траектории автономной системы.
- •17. Первые интегралы однородной системы. Достаточное условие первого интеграла. Теорема о существовании независимых первых интегралов.
- •18. Устойчивость по Ляпунову и асимптотическая устойчивость положения равновесия автономной системы. Условие асимптотической устойчивости положения равновесия линейной системы.
- •19. Линеризация нелинейной системы в окрестности положения равновесия. Условие асимптотической устойчивости положения равновесия нелинейной системы.
- •20. Фазовые портреты линейных однородных систем с постоянными коэффициентами на плоскости: случаи узла, седла, фокуса и центра.
- •21. Фазовые портреты нелинейных систем. Исследование положения равновесия нелинейной системы на плоскости по линейному приближению. Предельные циклы.
- •22. Фазовая плоскость оду 2-го порядка. Пример: математический маятник.
- •23. Линейные и квазилинейные учп 1-го порядка. Представление общего решения через первые интегралы системы уравнений характеристик.
14.Структура общего решения линейной неоднородной системы.
Решение неоднородной системы: ,
для функции специального вида укажем в каком виде нужно искать частное решение.
– не является корнем характеристического уравнения. , где – постоянный (неопределенный столбец).
– корень характеристического уравнения кратности s. , где – столбец, элементы которого многочлены степени sс неопределенными коэффициентами.
, где –корень характеристического уравнения кратности s, – столбец, элементы которого многочлены и m – maxстепень.
III. Автономные систему оду
1. Определение: (1)
Предположение: функции удовлетворяют условию теоремы о единственности в некоторой области , т. е. непрерывны и дифференцируемы в т. x.
Замечание: неавтономная система превращается в автономную, если положить , т.е.
16. Фазовое пространство и фазовые траектории автономной системы.
Пусть - решение интеграла (1). В это решение задает кривую , - параметр кривой, называемой фазовой траекторией системы (1), при этом пространство - фазовое пространство системы(1).
Фазовая траектория получается проектированием на (вдоль оси t)интегральной кривой, лежащей в .
Свойства фазовых траекторий
1) Если - также решение. Фазовые траектории соответствующие этим решениям совпадают.
Док-во: , т.е. ч.т.д.
2) Любые две фазовые траектории системы (1) либо не имеют общих точек либо совпадают.
Док-во: Пусть - решения системы (1). Пусть соответственно имеют общую точку , т.е. .
Рассмотрим решение .при t= имеем . По Теореме о Фазовые траектории . и реш. совпадают по св-ву 1.
Определение: точка называется положением равновесия системы (1) если .
3) Если - положение равновесия сестемы (1), то - стационарное решение системы (1). Соответственно фазовая траектория состоит из одной точки то
4) Всякая фазовая траектория принадлежит к одному из следующих 3х типов:
гладкая кривая без самопересечений
замкнутая гладкая кривая(цикл)
точка положения равновесия.
17. Первые интегралы однородной системы. Достаточное условие первого интеграла. Теорема о существовании независимых первых интегралов.
Функция называется первым интегралом системы (1), если на любом решении системы(1) она постоянна, т.е (2)
Пример: П.И:
Iспособ:
IIспособ:
Критерий первого интеграла: пусть - некоторая функция(гладкая). , тогда
Выражение (3) называется производной функцией в силу системы (1)
Теорема: функция является первым интегралом системы (1), тогда и только тогда когда она удовлетворяет условию (4)
Док-во: 1) если (4) выполнено в Х, то оно выполнено и в точках любой траектории для любого решения правая часть (3) => левая часть (3)) , т.е. , т.е. - первый интеграл системы (1).
2) Пусть - первый интеграл системы (1). По теореме о существовании единственности: .
т.к. =const, то и в силу (3)
Теорема (о независимых первых интегралах) пусть непрерывно дифференцируемые функции в . Эти функции называются зависимыми в области Х, если одну из них можно выразить из остальных.
Теорема: пусть точка не является положением равновесия системы (1), тогда в некоторой окрестности ( )система (1) имеет n-1 независимых первых интегралов и всякий п.и. этой системы представляется в виде , где F - некоторая гладкая функция.