Модуль IV. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Тема 10. Производная и дифференциал

Задачи, приводящие к понятию производной, определение производной; геометрический смысл производной, уравнение касательной к графику функции, классификация положений касательных; понятие дифференцируемой функции. Дифференцирование результатов арифметических действий (производная суммы, произведения константы и функции, произведения функций, частного функций). Дифференцирование сложной функции, дифференцирование обратной функции. Таблица производных основных элементарных функций, логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Дифференцирование функций, заданных неявно. Производные высших порядков. Понятие дифференциала функции одной переменной, его геометрический смысл, использование в приближенных вычислениях. Основные теоремы дифференциального исчисления: теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.

Тема 11. Изучение поведения функции при помощи производной

Критерий постоянства дифференцируемой функции, критерий монотонности дифференцируемой функции, локальный экстремум, определение промежутков выпуклости графика функции, точки перегиба; схема исследования свойств функции и построения ее графика. Определение наибольшего и наименьшего значений функции на замкнутом промежутке (экстремальные задачи). Предельный анализ в экономике. Эластичность экономических функций.

Модуль V. Интегральное исчисление функции одной переменной

Тема 12. Неопределенный интеграл

Определение неопределенного интеграла, основные свойства неопределенного интеграла. Способы интегрирования: табличное интегрирование, замена переменной интегрирования, интегрирование по частям. Основные классы интегрируемых функций: интегрирование тригонометрических выражений, дробно-рациональных, иррациональных функций.

Тема 13. Определенный интеграл

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла, определение интеграла как предела интегральных сумм; геометрическая интерпретация определенного интеграла; формула Ньютона-Лейбница, свойства определенного интеграла, выражаемые равенствами и неравенствами; способы вычисления определенного интеграла (замена переменной в определенном интеграле, интегрирование по частям в определенном интеграле). Приложения определенного интеграла: механические, геометрические, экономические иллюстрации.

Тема 14. Несобственные интегралы

Определение несобственного интеграла, классификация несобственных интегралов, способ исследования несобственных интегралов на сходимость.

Модуль VI. Ряды

Тема 15. Числовые ряды

Определение числового ряда, понятие сходимости, геометрический и гармонические ряды, признаки сходимости – необходимое условие, признак Даламбера, признак Коши, признак сравнения, предельный признак сравнения; признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда. Абсолютная и условная сходимости.

Тема 16. Степенные ряды

Определение степенного ряда, точка сходимости ряда, радиус и интервал сходимости. Разложение функции в ряд Тейлора и Маклорена.