- •Тема 4. Метод математической индукции. Элементы комбинаторики Сведения из теории
- •Лабораторная работа № 9. Метод математической индукции Вопросы к работе.
- •Образцы решения заданий.
- •Упражнения.
- •Образцы решения заданий.
- •Индивидуальное задание.
- •Индивидуальное задание.
- •Упражнения.
- •Задания для самоконтроля.
- •Лабораторная работа № 13. Бином Ньютона Вопросы к работе.
- •Образцы решения заданий.
- •Упражнения.
- •Индивидуальные задания.
- •Задание для самоконтроля.
Упражнения.
Доказать, что для -го числа арифметической прогрессии с разностью d справедлива формула .
Доказать, что при любом натуральном n справедлива формула
Доказать, что при любом натуральном n число -15n-1 делится на 9.
Доказать, что при любом натуральном n число делится на 6.
Последовательность задана рекуррентным соотношением , , . Доказать, что ( ).
Доказать, что при каждом натуральном справедлива формула
7. Доказать, что при каждом натуральном справедливо равенство
.
Индивидуальное задание
Доказать, что при каждом натуральном n число делится на :
1) , 2) ,
3) , 4) ,
5) , 6) ,
7) , 8) ,
9) , 10) ,
2. Доказать, что при каждом натуральном n справедливо равенство:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
Задания для самоконтроля.
Доказать, что если , то для всех натуральных значений истинно неравенство:
(это неравенство называется неравенством Бернулли).
Лабораторная работа № 10. Размещения
Вопросы к работе.
Что изучает комбинаторика?
Что представляет собой “правило умножения”?
Что такой ?
Что такое соединение из элементов по ?
Что такое размещение?
По какой формуле вычисляется число размещений из по ? Как обозначается это число?
Что представляет собой размещение с повторением?
По какой формуле вычисляется число размещений с повторением из по ?
Образцы решения заданий.
Сколько существует двузначных чисел, имеющих обе четные цифры?
Решение.
Цифрой разряда десятков искомых чисел может быть одна из цифр 2, 4, 6, 8(4 возможности), а цифрой разряда единиц – одна из цифр 0, 2, 4, 6, 8 (5 возможностей).По правилу умножения, всего несколько чисел будет чисел.
Упростить выражение В=
Решение.
В= =
Итак, В= .
Упростить выражение Д=
Решение. Д= , Итак Д=20.
Решить уравнение относительно натурального :
Решение.
а) Если m=1 , то согласно уравнению будем иметь:
( );
Значит, m=1не является корнем заданного уравнения.
б) Если m≥2, то согласно уравнению будем иметь:
Итак, исходное уравнение имеет два натуральных корня:
Упростить выражение: М=
Решение.
,
,
, Итак М=
Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различные и нечетные?
Решение.
Поскольку нечетных чисел пять, а именно 1, 3, 5,7,9 то эта задача сводится к выбору размещения на две разные позиции двух из пяти различных цифр. Количество этих позиций есть число размещений из 5 по 2: . Следовательно, искомых чисел имеется 20 штук.
Каждый телефонный номер состоит из шести цифр. Сколько всего телефонных номеров не содержащих других цифр, кроме 2, 3, 5 и 7?
Решение.
Эта задача о числе размещений в шести разных местах шести цифр, выбранных из четырех разных цифр с повторением каждой из них любое число раз, но не более шести.
Тогда
Итак, число всех указанных телефонных номеров равно 4096.