- •Тема 4. Метод математической индукции. Элементы комбинаторики Сведения из теории
- •Лабораторная работа № 9. Метод математической индукции Вопросы к работе.
- •Образцы решения заданий.
- •Упражнения.
- •Образцы решения заданий.
- •Индивидуальное задание.
- •Индивидуальное задание.
- •Упражнения.
- •Задания для самоконтроля.
- •Лабораторная работа № 13. Бином Ньютона Вопросы к работе.
- •Образцы решения заданий.
- •Упражнения.
- •Индивидуальные задания.
- •Задание для самоконтроля.
Лабораторная работа № 9. Метод математической индукции Вопросы к работе.
Для какого типа утверждений применяется метод математической индукции?
В выполнение каких шагов состоит метод математической индукции?
Образцы решения заданий.
1. Доказать, что сумма первых ( ) нечетных чисел равна квадрату их числа, т. е. .
Решение.
Т. к. утверждение зависит от натурального параметра , то воспользуемся для его доказательства методом математической индукции.
1) Проверим справедливость данного утверждения для .
Если , то (и).
2)Предположим, что сумма первых ( ) нечетных чисел равна квадрату количества этих чисел, т. е. . Другими словами, предположим, что наше утверждение истинно для всех, значений от 2 до включительно.
3) Установим, исходя из равенства (2), что сумма первых нечетных чисел равна , т. е.1+3+5+…+(2(k+1)-1)= .
Действительно, 1+3+5+…+(2(k+1)-1)=1+3+5+…+(2k+1)=1+3+5+…+(2k– –1)+( 2k+1)=[1+3+5+…+(2k-1)]+ (2k+1)= +2k+1= ; = (и).
На основании принципа математической индукции делаем вывод, что сумма первых n нечетных чисел равна для любого натурального .
2. Доказать, что для -го члена геометрической прогрессии со знаменателем q справедлива формула ( ).
Решение.
Доказательство проводим методом математической индукции по натуральному параметру n.
n=1 (и).
Предположим, что формула справедлива для всех натуральных значений n от 2 до k включительно, т. е.
n=k+1 = ; (и).
Согласно принципа математической индукции можно сказать, что рассматриваемая формула верна для любого натурального n.
Доказать, что при каждом натуральном n число делятся на 6.
Решение. Обозначим число = . Надо доказать, что 6 при любом натуральном n.
n=1 (и).
(предположение)
n=k+1
(по предположению), (по свойствам делимости).
Если мы сумеем доказать, что
, то тогда можем утверждать, что
, т. к. 3 и 2 взаимно-простые числа.
Это доказательство проведем тоже методом математической индукции:
(предположение)
3)
(по предположению)
(6S+6) (по свойствам делимости).
Тогда по свойству делимости.
Итак и 2. Следовательно, .
Согласно методу математической индукции мы можем сказать, что число делится на 6 для любого натурального значения n.
Доказать, что при каждом натуральном справедлива формула 1+2+3+….+(n-1)+n= .
Решение.
; 1=1(и).
(предположение).
равно ли ? Обозначим ,
Чтобы доказать, что , мы можем
с помощью тождественных преобразований перевести в ;
с помощью тождественных преобразований перевести в ;
с помощью тождественных преобразований перевести в ;
с помощью тождественных преобразований перевести в ;
Воспользуемся приемом (3)
1+2+3+…+k+(k+1)= ;
; = . Значит, , т. е. при наше утверждение – истина.
Согласно принципа математической индукции делаем вывод: 1+2+3+…+ n= при .
Последовательность задана рекуррентным соотношением: , , , .
Доказать, что для
Решение. Обозначим значения а, находимые по предполагаемой формуле через при .
n=1 (по условию)
(и).
Предположим, что для всех значений от 2 до включительно (k-произвольное натуральное число). В частном.
, , т. е.
Найдем и
=
Согласно методу математической индукции делаем вывод: предполагаемое утверждение истинно для .