- •Линейная алгебра Системы линейных уравнений
- •Векторная алгебра Основные понятия
- •Скалярное произведение двух векторов
- •Направляющие косинусы вектора
- •Векторное произведение двух векторов
- •Свойства векторного произведения
- •Векторное произведение ортов
- •Векторное произведение двух векторов , заданных своими координатами
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
|
Утверждена на заседании кафедры ИСС 26 апреля 2011 г. |
Методические указания
к практическим занятиям
по курсу «Высшая математика»
Раздел «Линейная и векторная алгебра»
для бакалавров дневной формы обучения
института ПГС
Ростов-на-Дону
2011
УДК 512.8 (08)
Методические указания к практическим занятиям по курсу «Высшая математика». Раздел «Линейная и векторная алгебра».– Ростов н/Д: Рост. гос. строит. ун-т, 2011. – 20 c.
Изложен теоретический и практический материал по линейной, векторной алгебре и элементам аналитической геометрии.
Предназначены для бакалавров дневной формы обучения специальностей института ПГС.
Электронная версия находится в библиотеке, ауд. 224.
УДК 512.8 (08)
Составители:
канд. физ.-мат. наук, доц. А.Е. Богданов
канд. техн. наук, доц. Г.Я. Корабельников
ассист. Неумержицкая Н.В.
Рецензент:
д-р физ.-мат. наук, проф. А.А. Ляпин
Редактор Н.Е. Гладких
Доп. план 2011 г., поз. 17
Подписано в печать 18.07.11. Формат 60х84/16.
Бумага белая. Ризограф. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 20 экз. Заказ 224
Редакционно-издательский центр
Ростовского государственного строительного университета
344022, Ростов - на - Дону, ул. Социалистическая, 162
РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ, 2011
Линейная алгебра Системы линейных уравнений
Выражение вида
называется линейной системой из m уравнений и n неизвестных .
Решением системы называется такая система n чисел , когда каждое уравнение системы обращается в тождество после замены в нем неизвестных соответствующими числами
Система линейных уравнений может не иметь ни одного решения, и тогда она называется несовместной.
Если же система линейных уравнений обладает решениями, то она называется совместной.
Совместная система называется определенной, если она обладает одним- единственным решением, и неопределенной , если решений больше одного .
Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными .
Определителем 2-го порядка (определителем системы) называется число :
.
Пусть дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными
.
Определителем 3-го порядка(определителем системы) называется число
.
Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными
.
Определителем n-го порядка(определителем системы) называется число
.
Пусть дан определитель n-го порядка
.
Определитель (n-1)-го порядка, получающийся вычеркиванием из данного определителя -й строки и -го столбца, называется минором элемента и будем его обозначать .
назовем алгебраическим дополнением элемента .
Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной строки или столбца на их алгебраические дополнения .
= = и т.д.
Правило Крамера. Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными
.
Если определитель системы отличен от нуля , то система имеет единственное решение при любой правой части и это решение получается по формулам :
где , , … , .
Решение систем уравнений методом Крамера
1.
Определитель системы .
Вспомогательные определители
, .
Решение системы
2.
Определитель системы вычислим по формуле (4)
= 2(-2)5+1(-1)3+3(-4)4 – ( 3(-2)3+2(-1)4+5(-4)1 ) =-25
Вспомогательный определитель вычислим разложением по элементам первой строки
= ,
определитель вычислим разложением по элементам первого столбца
,
определитель вычислим разложением по элементам третьей строки
.
Пусть дана линейная система
.
Таблица из элементов называется матрицей из строк и столбцов ;
числа называются элементами матрицы .
Если , то матрица называется квадратной порядка .
Диагональ этой матрицы , составленная из элементов , называется главной диагональю .
Квадратная матрица порядка будет называться единичной матрицей порядка , если все элементы ее главной диагонали равны единице , а все остальные равны нулю .
Пусть дана матрица,
А = . Матрица АТ = называется транспонированной матрицей матрицы А .
Операции над матрицами
Суммой А + В двух матриц А = ( ) и В = ( ) размерности называется матрица С = ( ) такая , что .
Произведением kА матрицы А = ( ) на число k называется матрица
В = ( ) такая , что k .
Произведением матрицы А = ( ) размерности на матрицу В = ( ) размерности называется матрица С = АВ = ( ) размерности такая , что .
Пусть дана квадратная матрица
А = и ее определитель А .
Если определитель квадратной матрицы равен нулю, то матрица называется вырожденной ( особенной ) , и невырожденной (неособенной) – в противоположном случае .
Матрица В называется обратной для матрицы А, если АВ = ВА = Е и будем ее обозначать В = А-1 .
Для невырожденной матрицы А существует обратная матрица, причем единственная и
А-1 = .
Примеры
1. .
2.
3. Дана матрица = , найти обратную.
,
, , = ,
, , .
.
Матричный способ решения систем линейных уравнений
Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными
.
А = - матрица системы , через в = и Х = , тогда исходную систему можно записать в матричной форме АХ = в (*) .
Если определитель системы отличен от нуля , то ее решение находится следующим образом
= . .
Решить систему уравнений матричным способом
1.
Cоставим матрицу системы
и вычислим определитель матрицы .
Найдем алгебраические дополнения
Получаем обратную матрицу , тогда
,
2.
Составим матрицу системы
и вычислим определитель матрицы .
Найдем алгебраические дополнения
Получаем обратную матрицу .
Тогда ,
Линейное векторное пространство
Упорядоченная система из n чисел = ( ) называется n - мерным вектором, а числа называются компонентами вектора .
Векторы = ( ) и = ( ) будут считаться равными , если .
Суммой векторов и называется вектор + = ( ) .
Вектор 0 = ( 0,0,…,0) называется нулевым .
Вектором, противоположным вектору , назовем вектор - =( ).
Произведением вектора на число k называется вектор k = ( ) .
Вектор называется линейной комбинацией векторов 1, 2, …, s, если существуют такие числа р1 , р2 , … , рs , что = р11+ р22 + … + рss .
Система векторов 1 , 2 , … , s линейно зависима , если существуют такие числа р1 , р2 , … , рs , хотя бы одно из которых отлично от нуля , когда имеет место равенство р11+ р22 + … + рss = 0 , в противном случаи система линейно зависима.
Система из n векторов образует базис линейного n - мерного пространства , если они линейно независимые и любой другой вектор линейного пространства является их линейной комбинацией .
Система векторов 1=(1, 0, … , 0), 2=(0, 1, … , 0), … , n=(0, 0, …, 1), которые называются единичными, образует базис n - мерного векторного пространства .
Доказать, что система векторов образует базис в R3, и найти координаты вектора в этом базисе .
Рассмотрим равенство . Оно эквивалентно следующей линейной однородной системе :
, т.к. определитель системы ,
то система имеет только нулевое решение и , следовательно , векторы
- линейно независимые .
Теперь покажем, что любой вектор из R3 можно представить в виде их линейной комбинации, т.е. , и тем самым докажем , что векторы образуют базис в R3 , а есть координаты вектора в новом базисе .
Действительно записанное ранее векторное равенство эквивалентно следующей линейной системе:
. Так как определитель системы , то, по правилу Крамера, система имеет решение при любой правой части, а это означает, что любой вектор из R3 можно выразить через векторы , т.е эти векторы образуют базис .
Теперь найдем координаты вектора в этом базисе, для чего запишем систему : . Решая ее, получим
Следовательно, в новом базисе вектор имеет координаты .
Пусть дана матрица А = .
Строки матрицы можно рассматривать как n - мерные векторы, которые могут быть линейно зависимые.
Максимальное число линейно независимых строк матрицы А называется рангом этой матрицы.
Пусть дана система линейных уравнений
и ее матрица А = .
Построим так называемую “расширенную” матрицу,
= .
Система линейных уравнений тогда и только тогда совместна, когда ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы А .
Совместная система тогда и только тогда обладает единственным решением, когда ранг матрицы А равен числу неизвестных.
Решения систем линейных уравнений методом Гаусса
П ример 1
Следовательно, система имеет единственное решение.
Найдем решение системы:
Следовательно, система имеет бесконечное множество решений, каждое из которых может быть найдено по формулам:
,
г
Пример 2
Пример 3
Следовательно, система несовместна.