Линейная_алгебра_1_часть
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Утверждено на заседании кафедры
прикладной математики и вычислительной техники
20.05.2011 г.
Линейная алгебра
Методические указания для практических работ
бакалавров направления «Экономика»
Часть 1
Ростов-на-Дону
2011
УДК 51(075.8)
Линейная алгебра: методические указания для практических работ бакалавров направления «Экономика». Ч. 1. – Ростов н/Д: Рост. гос. строит. ун-т, 2011.
– 31 с.
Изложен краткий курс по линейной алгебре. Представлены типовые задачи и их решения. Приведены варианты заданий для самостоятельной работы. Предназначены для практических работ студентов как очной, так и заочной форм обучения специальностей «Экономика предприятий и организаций», «Финансы и кредит», «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», «Налоги и налогообложение», «Региональная экономика».
Электронная версия методических указаний находится в библиотеке,
ауд. 224.
УДК 51(075.8)
Составители:
к.ф.-м.н. Богачева М.Н. к.ф.-м.н. Гробер О.В. к.ф.-м.н. Гробер Т.А.
Редактор Н.Е. Гладких Доп. план 2011 г., поз. 63.
Подписано в печать 30.06.11. Формат 60 84
16 . Бумага писчая. Ризограф. Уч.-изд.л. 1,9. Тираж 100 экз. Заказ 268
Редакционно-издательский центр Ростовского государственного строительного университета
344022, Ростов-на-Дону, ул. Социалистическая, 162.
Ростовский государственный строительный университет, 2011
3
ЧАСТЬ 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
1.1.Матрицы и определители
1.1.1. Основные понятия
Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов
a |
a |
|
a |
|
|||
|
11 |
|
12 |
|
|
1n |
|
a21 |
a22 |
a2n |
|||||
A |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
am2 |
|
|
|
|
|
am1 |
amn |
||||||
Каждый элемент матрицы aik |
имеет два индекса: i – номер строки и k – |
||||||
номер столбца. Например, в матрице |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
7 |
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
2 |
0 |
8 |
1 |
|
|
|
|
|
3 |
4 |
9 |
6 |
|
|
|
|
|
|
||||
размера 3 4 , a11 5 , a23 8, a34 6 . |
|
|
|
|
|
||
Часто используется краткая запись матрицы: |
A (aik )m,n . Матрица назы- |
||||||
вается квадратной n -го порядка, |
если она состоит из n строк и n столбцов. |
||||||
Матрица размера 1 n называется матрицей-строкой, а матрица размера m 1
матрицей-столбцом.
Нулевой матрицей О заданного размера называется матрица, все элементы которой равны 0.
Единичной называется квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны 1, а все остальные элементы равны 0:
|
1 |
0 |
|
0 |
|
|
|
0 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|||||
Е |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||
|
0 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
Можно говорить о единичных матрицах любого порядка.
Транспонированной для матрицы A называется матрица AT , строки которой являются столбцами матрицы A , а столбцы – строками A . Например, ес-
ли |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
4 |
|
|
|
5 |
3 |
|
|
5 |
, то |
AT |
|
9 2 |
|
. |
||||
A |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
2 |
1 |
|
|
|
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
Матрицы |
A (aik )m,n и B (bik )m,n называются равными, если aik bik , |
||
i 1, ,m , k 1, ,n . |
|
|
|
1.1.2. Линейные операции над матрицами |
|||
Суммой |
матриц |
A (aik )m,n и |
B (bik )m,n называется матрица |
A B (aik bik )m,n .
Другими словами, для сложения матриц надо сложить элементы матриц, стоящие на одних и тех же местах. Складываются матрицы только одинакового размера.
Произведением матрицы A (aik )m,n на число |
называется матрица |
A ( aik )m,n . |
|
Другими словами, для умножения матрицы на число надо каждый элемент матрицы умножить на это число. Любую матрицу можно умножить на любое число.
Для любых матриц одинакового размера и любых чисел и выполняются свойства:
1) |
A B B A ; |
|
|
|
|
|
4) ( A) ( ) A; |
|
|
||||||
2) |
A 0 A ; |
|
|
|
|
|
5) ( A B) A B ; |
|
|||||||
3) |
A (B C) (A B) C ; |
|
|
|
6) ( ) A A A. |
|
|||||||||
Пример |
1. Даны матрицы |
|
A |
|
2 |
1 |
|
и |
B |
1 |
4 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
. Найти матрицу |
|||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
||||
C 2A 3B AT . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
3 12 |
2 |
3 |
|
9 7 |
||||||
|
C 2A 3B AT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
6 |
0 |
|
|
|
15 6 |
|
|
|
|
|
8 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
||||||
1.1.3. Умножение матриц
Матрицы умножаются по правилу «строка на столбец». Расшифруем, что имеется в виду.
Произведением матрицы A (aik )m, p на матрицу B (bik ) p,n называется
p
матрица C размера m n с элементами cik aij b jk , i 1,2, ,m ,
j 1
k 1,2, ,n .
Другими словами, для получения элемента, стоящего в i -й строке и k - том столбце матрицы-произведения, следует вычислить сумму произведений элементов i -й строки матрицы A (aik )m, p на k -й столбец матрицы
B (bik ) p,n .
5
В самом определении произведения матриц заложено, что число столбцов первой матрицы должно совпадать с числом строк второй. Это условие согласования матриц при умножении. Если оно нарушено, то матрицы перемножить нельзя.
Пример 2. Найти произведение матриц |
|
2 |
4 |
|
|
5 |
1 |
2 |
|
A |
|
|
|
и B |
|
|
|
. |
|
|
|
1 |
3 |
|
|
2 |
0 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
2 5 4 2 |
2 ( 1) 4 0 |
2 2 4 6 |
18 |
2 |
28 |
. |
||||
Решение. |
A B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 5 |
3 2 |
1 ( 1) 3 0 |
1 2 3 6 |
|
|
1 |
20 |
|
|
|
|
|
11 |
|
|
||||||
Заметим, что вполне возможна ситуация, когда A B существует, а B A нет. Именно так происходит в примере 2. Кроме того, когда существуют оба произведения, то чаще всего они не равны, т.е., вообще говоря, A B B A. Приведем еще ряд свойств операции умножения матриц. Если A, B и C - квадратные матрицы одного порядка, то справедливы равенства:
1)A (B С) (A B) C ;
2)A (B C) A B A C ;
3)(A B) C A C B C ;
4)A E E A A.
1.1.4.Определители
Понятие определителя вводится только для квадратных матриц. Рассмот-
a11
рим квадратную матрицу 2го порядка: A
a21
Определителем 2го порядка матрицы A
a12 .
a
22
называется число:
( A) |
a11 |
a12 |
a a |
22 |
a a |
21 |
. |
|
|
a21 |
a22 |
11 |
12 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 3. Вычислить определитель матрицы |
|
11 |
4 |
|
||||
A |
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
Решение. (A) 11 12 4 5 152.
a |
a |
a |
|
|
11 |
12 |
13 |
|
– матрица 3го порядка. |
Пусть A a21 |
a22 |
a23 |
|
|
|
a32 |
a33 |
|
|
a31 |
|
|
Минором элемента aik называется определитель M ik , составленный из
элементов, оставшихся после вычеркивания из матрицы i -й строки и k -го столбца.
Алгебраическим дополнением элемента aik называется число
6
|
|
A ( 1)i k M |
ik |
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
ik |
|
|
|
|
|
||
Определителем 3го порядка (матрицы |
A ) называется сумма произведе- |
|||||||||
ний элементов первой строки матрицы на их алгебраические дополнения. |
||||||||||
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
( A) |
a21 |
a22 |
a23 |
a11 A11 |
a12 A12 |
a13 A13 . |
||||
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3. Вычислить определитель матрицы |
A |
5 |
1 |
0 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. Находим миноры и алгебраические дополнения элементов 1-й строки матрицы:
|
M |
11 |
|
|
|
1 0 |
|
7, |
|
A ( 1)1 1 M |
11 |
M |
11 |
7 ; |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
7 |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
( 1)1 2 M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
M |
12 |
|
5 |
35, |
|
A |
12 |
M |
12 |
|
35 ; |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
7 |
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
A ( 1)1 3 M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
M |
13 |
|
5 |
|
|
7, |
|
13 |
M |
13 |
7 . |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вычисляем исходный определитель |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(A) 3 7 ( 2) ( 35) 4 ( 7) 63 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
В дальнейшем при вычислении определителей мы будем пользоваться |
||||||||||||||||||||||||||||||||
более короткой записью: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
( A) |
|
|
3 |
2 |
4 |
|
3 |
|
1 |
0 |
|
( 2) |
|
5 |
|
|
0 |
|
4 |
|
5 |
1 |
|
63. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
5 |
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
1 |
7 |
|
|
|
1 |
7 |
|
|
|
2 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее индуктивно вводится понятие определителей более высоких порядков.
Определителем n -го порядка называется сумма произведений элементов 1-й строки на их алгебраические дополнения.
Свойства определителей
1.Определитель не меняется при транспонировании.
2.Если все элементы какой-либо строки (или столбца) равны нулю, то определитель равен 0.
7
3.Если две строки (два столбца) поменять местами, то определитель меняет знак.
4.Если элементы какой-либо строки (столбца) содержат общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.
5.Если в определителе две строки (два столбца) одинаковы или пропорциональны, то определитель равен 0.
6.Справедливо равенство
a11 b11 |
a12 b12 |
a13 b13 |
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
b11 |
b12 |
b13 |
|
|
|
|
|||||||||
a21 |
a22 |
a23 |
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
a21 |
a22 |
a23 |
. |
a31 |
a32 |
a33 |
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
7.Определитель не изменится, если к элементам какой-либо его строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.
8.Сумма произведений элементов любой строки (столбца) на свои алгебраические дополнения равна самому определителю.
9.Сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения другой строки (столбца) равна 0.
Теорема 1. Если A и B – квадратные матрицы n -го порядка, то
(A B) (A) (B) .
Следствие. ( A B) (B A) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Пример 5. (Образец решения задачи |
2 из контрольной работы). Даны матри- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 1 |
0 |
|
|
|
|
1 4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
цы A |
|
1 |
2 |
3 |
|
|
и |
B |
0 |
3 |
|
|
2 |
|
. Проверить справедливость равенства |
|||||||||||||
|
|
4 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
5 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
( A B) (B A) ( A) (B) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
2 3 |
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
( A) |
1 2 |
3 |
|
2 |
|
1 |
0 |
|
8 14 0 22 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
4 |
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
0 2 |
|
|
|
0 3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
(B) |
0 3 |
2 |
1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
5 40 30 75 |
||||||||||||||||
|
|
|
5 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
5 |
1 |
|
|
|
5 |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 1 |
0 1 |
4 |
|
|
2 |
2 11 |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A B |
|
1 2 |
3 |
|
|
0 |
|
3 |
|
|
2 |
|
|
16 5 |
|
|
3 |
|
|
|||||||||
|
|
4 0 |
2 |
|
|
|
5 1 |
|
|
1 |
|
|
6 18 |
10 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
11 |
2 |
|
|
|
|
5 |
|
3 |
|
16 |
3 |
|
|
16 |
5 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
( A B) |
16 |
5 |
3 |
|
2 |
|
11 |
2 |
|
208 1985 516 |
||||||||||||||||
|
|
6 |
18 |
10 |
|
|
|
18 |
10 |
|
|
6 |
10 |
|
|
6 |
|
18 |
|
|||||||
1650 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 4 |
2 2 1 |
0 |
|
2 7 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B A |
0 3 |
2 |
|
|
1 2 |
3 |
|
11 6 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
5 1 |
1 |
|
|
|
4 0 |
2 |
|
|
13 7 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
7 |
16 |
|
|
|
6 |
5 |
|
|
|
11 |
5 |
|
|
11 |
6 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
(B A) |
11 |
6 |
5 |
|
2 |
7 |
|
2 |
|
10 840 2480 |
||||||||||||||||
|
|
13 |
7 |
5 |
|
|
|
7 |
5 |
|
|
|
13 |
5 |
|
|
13 |
7 |
|
|
|
|
||||
1650 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом,
( A B) (B A) ( A) (B) =–1650.
1.1.5. Обратные матрицы
Матрица A 1 называется обратной к квадратной матрице A , если
A A 1 A 1 A E .
Матрица A называется вырожденной, если ( A) 0 ; в противном случае
A – невырожденная матрица.
Для того, чтобы матрица A имела обратную, необходимо и достаточ-
но, чтобы она была невырожденной, т.е. ( A) 0. |
|
|
|
|||||
В таком случае, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
A |
A |
|
|
|
|
|
|
11 |
21 |
|
n1 |
|
|
A 1 |
1 A12 |
A22 |
An2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
( A) |
||||||||
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
A |
A |
|
|
||
|
|
|
1n |
2n |
|
nn |
|
|
т.е. обратная матрица есть разделенная на ( A) транспонированная матрица алгебраических дополнений элементов матрицы A .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 6. Дана матрица |
А |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
. Найти A 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
1 3 |
|
19 A |
|
1 |
1 |
|
11 A |
|
1 |
1 |
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11 |
|
|
|
4 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
4 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
5 |
|
1 |
|
33 A |
|
5 |
1 |
|
17 |
||||||||||||||||||||||||||||
A |
2 |
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12 |
|
2 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
2 |
|
7 |
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
6 A |
|
5 |
|
1 |
|
|
A |
|
5 |
1 |
|
7 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
A |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13 |
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(A) 5 ( 19) 1 ( 20) ( 1) 6 121 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
19 |
11 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
и тогда, A 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
33 |
17 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
121 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
22 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Проверка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
1 1 19 |
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
A A 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
1 3 |
|
20 |
|
33 17 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
121 |
|
2 |
4 7 |
|
|
6 |
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
121 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
121 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
E . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
121 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
121 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Аналогично убеждаемся, что |
A 1 A E . Значит, |
матрица |
A 1 |
найдена верно. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Справедлива следующая теорема: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Теорема 2. Если A и B невырожденные |
|
|
|
квадратные матрицы одинакового |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
порядка, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( A B) 1 B 1 A 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1.2. Системы линейных алгебраических уравнений
Рассмотрим систему из 3-х алгебраических уравнений с 3-мя неизвестными:
10
a x a |
y a z b |
|
||
11 |
12 |
13 |
1 |
|
a21x a22 y a23 z b2 |
(1.1) |
|||
a x a |
32 |
y a z b |
|
|
31 |
33 |
3 |
|
|
1.2.1. Метод Крамера
Теорема 3. Если определитель матрицы системы (1.1)
a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33
отличен от нуля ( 0 ), то система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера:
|
|
|
|
x |
|
x |
, y |
y |
, z |
|
z |
, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b1 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
a11 |
b1 |
a13 |
|
|
|
a11 |
a12 |
b1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x |
b2 |
a22 |
a23 |
|
, y |
a21 |
b2 |
a23 |
, z |
a21 |
a22 |
b2 |
. |
|||||||
|
b3 |
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
a31 |
b3 |
a33 |
|
|
|
a31 |
a32 |
b3 |
|
||
1.2.2. Матричный метод
Обозначим через A матрицу системы (1.1), т.е. матрицу, составленную из
коэффициентов при неизвестных: |
|
|
|
|
|
|
a |
a |
a |
|
|
A |
11 |
12 |
13 |
|
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
, |
|
|
|
a32 |
a33 |
|
|
|
a31 |
|
|
x |
|
b |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
через X y |
– матрицу-столбец из неизвестных и через |
B b2 |
|
– матрицу- |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
b3 |
|
|
|
столбец правых частей.
Принимая во внимание правило умножения матриц, можно систему линейных уравнений (1.1) записать в виде матричного уравнения:
A X B ,
решение которого имеет вид
X A 1 B .