Тема 4. Середні величини і показники варіації

Питання для самостійної роботи:

1. Середня арифметична та методика її розрахунку.

2. Середня гармонічна та методика її розрахунку.

3. Розподільчі середні. Мода і медіана.

4. Суть і статистичні показники варіації ознак.

5. Методика розрахунку середньоквадратичного відхилення, коефіцієнта варіації, дисперсії.

Література: 1.1; 1.2; 1.3; 1.4.

Розв’язання типової задачі на розрахунок середньої арифметичної зваженої і середньої гармонічної зваженої.

Задача. Відомі наступні дані про виробництво фірмою товарів двох видів за звітний місяць:

Назва товару	Фірма №1		Фірма №2
	Ціна за од., грн.	Вироблено, од.	Ціна за од., грн.	Вироблено на суму, грн.
А	0,40	300	0,50	125
Б	1,20	450	1,50	630

Знайдіть середню ціну за одиницю товару двох видів разом:

а) по фірмі №1

б) по фірмі №2

Розв’язання

1. Побудуємо вихідне співвідношення середньої (це ціна, значить треба записати формулу для розрахунку ціни)

ціна =

2. Середня ціна у фірмі №1 розраховується за арифметичною зваженою, так як роль вагів виконує показник, що стоїть у знаменнику вихідного співвідношення:

середня ціна = 0,88 грн. за од.

1. Середня ціна у фірмі №2 розраховується за гармонічною зваженою, так як роль вагів виконує показник, що стоїть у чисельнику вихідного співвідношення:

Середня ціна 1,13 грн. за од.

Розв’язання типової задачі на розрахунок показників варіації:

Задача. Дослідження фірм за обсягами їх річної товарної продукції дало наступні результати:

Групи фірм за обсягом продукції, тис. грн.	Кількість фірм у групі, одиниць
До 100	6
100-150	27
150-200	2

Визначте показники варіації продукції. Зробіть висновок про однорідність сукупності і типовість середнього значення продукції для даних фірм.

Розв’язання:

Для розрахунків рекомендується оформити розрахункову (допоміжну) таблицю:

Групи фірм за обсягом продукції, тис. грн. (інтервали)	Кількість фірм у групі, од. (fі)	Середина інтервалу (продукція) (Хі)	Xifi	Xi-	(Xi- )2	(Xi- )2·fi
50-100	6	75	450	-44,3	1962,5	11774,9
100-150	27	125	3375	5,7	32,5	877,2
150-200	2	175	350	55,7	3102,5	6205,0
Р а з о м	35	-	4175	-		18857,1

1. Знаходимо середню продукцію 1 фірми:

2. Знаходимо дисперсію

3. Знаходимо середньоквадратичне відхилення

4. Знаходимо коефіцієнт варіації

Так як V<33,3%, то сукупність вважається однорідною, а середня – типовою.

Задачі і завдання для виконання на практичних заняттях і домашніх робіт

4.1. Ціна 1 л молока на міських ринках характеризується такими даними:

Назва ринку	Продано молока за місяць, (л)		Ціна за 1 літр, грн.
	травень	червень	у травні	у червні
Центральний	420	470	0,6	0,5
Привокзальний	580	530	0,5	0,4

Визначте середньомісячну ціну за 1 л молока за кожен місяць.

4.2. Відомі наступні дані по харчосмаковій фабриці:

Назва виробу	Минулий (базисний) рік		Звітний рік
	Собівар-тість 1 кг, грн.	Витрати на суму, грн.	Собівар-тість 1 кг, грн.	Вироб-лено, кг.
Макаронні вироби	0,5	928	0,6	1182
Крупа рисова	1,8	981	2,1	714

Розрахуйте середню собівартість за 1 кг бакалійних виробів на фабриці а) у минулому році; б) у звітному році.

4.3. Відомі наступні дані у розрізі регіонів країни за рік:

Регіони країни	Середньо душовий доход на одного жителя регіону, грн.	Число жителів у регіоні, тис. чол.	Середня чисельність однієї сім’ї (коефіцієнт сімейності), раз.
А	768	15300	2,5
Б	820	20150	2,3
В	642	12650	2,9

Розрахуйте середньо душовий доход на одного жителя країни та середній коефіцієнт сімейності по країні в цілому.

4.4. Відомі дані по обстежених фірмах:

Групи фірм за відносною ве-личиною вико-нання плану прибутку, %	Кількість фірм у групі, одиниць		Фактичний прибуток усіх фірм у минулому (базисному) році, тис. грн.	План прибутку усіх фірм на звітний рік, тис. грн.
	Минулий рік	Звітний рік
100 –102	9	12	1800	2640
102 –104	5	3	1250	840
104 –106	1	-	300	-

Знайдіть середню суму прибутку у розрахунку на одну фірму у базисному році та середній процент виконання плану прибутку в цілому по сукупності фірм у кожному році.

4.5. За приведеними даними розрахуйте середній рівень рентабельності по фірмі в цілому: а) у базисному році; б) у звітному році.

Філії	Базисний рік		Звітний рік
	Рентабель-ність, % (прибуток на 1 грн. реалізованої продукції)	Сума прибутку тис. грн.	Рентабель-ність,% (прибуток на 1 грн. реалізованої продукції)	Обсяг реалізованої продукції, тис. грн.
№ 1	5,6	50,4	4,8	1150
№ 2	8,4	100,8	6,3	1400

4.6. Відомі наступні дані:

(суми – у тис.грн.)

Філії однієї фірми	Базисний рік		Звітний рік
	Вироблено продукції у розрахунку на одного робітника	Кількість робітників, чол.	Вироблено продукції у розрахунку на одного робітника	Увесь обсяг товарної продукції
У м. Гадячі	650	1	530	1060
Ум. Полтаві	840	5	850	5100
У м. Миргороді	520	2	570	570
У м. Кременчуці	780	3	800	4000

Розрахуйте середній виробіток у розрахунку на 1 робітника по фірмі в цілому (по всіх філіях разом): а) за базисний рік; б) за звітний рік.

4.7. Відомі наступні дані по двох фірмах за рік:

Фірми	Виробіток миючих засобів на 1 робітника, грн.	Вироблено усього миючих засобів на суму, (тис. грн.)	Питома вага мила господарського у загальному обсязі вироблених миючих засобів, (%)
А	50,0	7650	10,5
Б	65,0	13065	6,5

Розрахуйте середній виробіток миючих засобів по двох фірмах в цілому та середню частку мила господарського у загальному обсязі продукції в цілому по двох ринках.

4.8. Відомі дані у розрізі обстежених фірм:

Групи фірм за часткою робітників у загальній чисельності працівників	Кількість фірм у групі, одиниць		Число робітників усього по групі фірм, чол. (у базисному році)	Число працівників усього по групі фірм, чол. (у звітному році)
	Минулий рік	Звітний рік
55	10	14	50	126
60	8	5	32	35
65	2	1	16	9

Знайдіть середню чисельність працівників у розрахунку на 1 фірму в цілому по сукупності та середню частку робітників в цілому по сукупності фірм у кожному році.

4.9. У цеху є дві дільниці, на кожній працює бригада робітників. Середня заробітна плата на 1 робітника по цеху в цілому становить 150 грн., по дільниці №1 – 120 грн., по дільниці №2 – 170 грн. Знайдіть частку кожної дільниці у загальній чисельності робітників.

4.10. Відомі наступні дані: (суми – в тис.грн.)

Номери бригад, що працюють у фірмі	Базисний рік		Звітний рік
	Кількість робітників, чол.	Середній виробіток продукції на 1робітника	Загальний обсяг виробленої продукції	Середній виробіток продукції на 1 робітника
Відділ №1	8	315,0	2086,0	298,0
Відділ №2	12	290,0	4004,0	286,0

Розрахуйте середній виробіток на 1 робітника по фірмі в цілому (по двох бригадах разом): а) за базисний рік; б) за звітний рік.

4.11. Відомі наступні дані про надходження сировини від постачальників:

Постачаль-ники сировини	Розмір за пропонованої разової поставки, кг	Потреба в надход-женні сировини за період, усього, кг	Процент виконання договорів поставок, %
Фірма А	700	3500	98,5
Фірма Б	900	2700	101,0

Розрахуйте середній розмір запропонованої разової поставки за всіма постачальниками і середній процент виконання договорів поставок.

4.12. Відомі дані за два місяці поточного року:

Групи фірм за середньою заробітною платою 1 працівника, грн.	Кількість фірм у групі, одиниць		Квітень	травень
	квітень	травень	Фонд заробіт-ної плати, разом по групі фірм, грн.	Число праців-ників, разом по групі фірм, чол.
950	5	3	14250	12
1150	3	6	20700	42
1400	2	1	19600	6

Знайдіть середню заробітну плату 1 працівника за місяць в цілому по сукупності фірм та середній фонд заробітної 1 фірми в цілому по сукупності фірм у кожному місяці.

4.13. За відомими даними про вік робітників двох молодіжних бригад визначте окремо для кожної бригади модальне число років і медіану із наведених рядів розподілу.

вік	Кількість робітників, чол.
	Бригада №1	Бригада №2
18	20	-
18,5	35	10
19	19	15
19,5	16	20
20	4	36
20,5	1	14
Разом	95	95

4.14. Опитування споживачів про прийнятну для них ціну на новий товар дало наступні результати:

Ціна товару, грн.	10-12	12-14	14-16
Частка споживачів, що признає її прийнятною, % до опитаних	45	30	25

Визначте: 1) середню прийнятну ціну на даний товар; 2) усі відомі вам показники варіації (розмах варіації, середнє лінійне відхилення, дисперсію, середньоквадратичне відхилення); 3) середньоквадратичний коефіцієнт варіації. Зробіть висновок про однорідність сукупності і типовість середньої.

4.15. Розподіл сімей за рівнем середньодушового грошового доходу характеризується такими даними за місяць:

Групи сімей за рівнем доходу на 1 чол. у місяць, грн.	Число сімей
	Міських	сільських
До 30,0	9,2	22,8
30,1 – 60,0	18,5	38,7
60,1 – 90,0	39,1	26,5
90,1 – 120,0	17,0	7,9
Більше 120,0	16,2	4,1

Визначте: 1) коефіцієнти варіації рівня середньодушового грошового доходу за окремими категоріями сімей; 2) порівняйте варіацію доходів міських і сільських сімей. Знайдіть моду і медіану розподілу.