Глава 3. Системы случайных величин.
Пример
3.1.
Система двух случайных величин подчинена
закону распределения с плотностью:
.
Найти функцию распределения
.
Определить вероятность попадания
случайной точки
в квадрат
с координатами: (1, 1), (0, 1), (1, 0), (0, 0).
Решение.
.
Тогда вероятность попадания в прямоугольник :
.
Пример
3.2.
Плотность распределения системы
имеет вид:
.
Определить, зависимы или независимы
величины
и
.
Решение. Разлагая знаменатель на множители, имеем:
.
Из
того, что функция
распалась на произведение двух функций,
из которых одна зависит только от
,
другая - только от
,
заключаем, что величины
и
должны быть независимы.
Действительно,
.
Аналогично,
.
Отсюда
убеждаемся, что
,
и, следовательно, величины
и
независимы.
Пример
3.3.
Система случайных величин
подчинена закону распределения с
плотностью
Требуется:
определить параметр a;
вычислить вероятность попадания точки
в квадрант, ограниченный прямыми
;
найти
Решение.
Найдем параметр a
из уравнения
.
Отсюда:
.
Искомая вероятность
.
По соответствующим формулам вычисляем другие числовые характеристики:
;
;
.
Пример 3.4.
События А и В имеют одинаковую вероятность p.
Какова должна быть условная вероятность Р(А|В), чтобы коэффициент корреляции между А и В был равен числу r.
Решение.
Пусть Х = 1 или 0 в зависимости от того, произошло событие А или нет.
Пусть Y = 1 или 0 в зависимости от того, произошло событие B или нет. Обозначим P(A|B) = P(B|A) = p1.
Тогда
P(AB) = pp1, P(
B)
= p1(1 - p1), P(A
)
= p(1-p1), P(
)
= 1 - 2p + pp1, т.е. совместное
распределение (Х,Y) задается
таблицей:
-
Y
X
1
0
1
pp1
p(1 - p1)
0
p(1 - p1)
1 - 2p + pp1
Следовательно,
M[X]
= M[Y]
= p,
D[X]
= D[Y]
= p(1-p),
M[XY]
= pp1,
Rxy
=
p(p1
-
p),
rxy
=
= r,
т.е. p1
=
P(A|B)
= p
+ r(1
- p).
Пример
3.5. В
продукции завода брак вследствие дефекта
инструмента составляет
,
а вследствие дефекта сырья (материала)
-
.
Годная продукция составляет
.
Найти коэффициент корреляции дефектов
инструмента и сырья.
Решение.
Пусть
-
случайная величина, принимающая значение
1, если данное изделие обладает браком
вследствие дефекта инструмента, и
- в противном случае.
Аналогично,
,
если данное изделие обладает браком
вследствие дефекта сырья, и
,
если дефекта сырья не проявился.
По
условию
.
Так как
то
.
Аналогично находим
.
Совместное распределение величин задается таблицей:
-
1
0
1
0,025
0,005
0
0,020
0,950
Тогда
То есть, коэффициент корреляции дефектов инструмента и сырья равен 0,67.