Глава 2. Случайные величины.

Пример 2.1. Вероятность того, что произвольный посетитель страховой компании заключит с ней какой–либо договор, равна 0,4. Определить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение числа клиентов (из трех посетителей), заключивших договор со страховой компанией.

Решение. Возможные значения СВ (число клиентов (из трех посетителей), заключивших договор со страховой компанией): 0, 1, 2, 3.

Используя формулу Бернулли (из теории вероятностей), вычислим вероятности различного числа клиентов (из трех), заключивших договор со страховой компанией:

.

Ряд распределения СВ (число клиентов, заключивших договор со страховой компанией) имеет вид:

Значение СВ	0	1	2	3
Вероятность	0,216	0,432	0,288	0,064

Вычислим числовые характеристики величины Х.

Пример 2.2. Непрерывная случайная величина Х подчинена закону распределения с плотностью.

х

Определить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическоe отклонение, асимметрию, эксцесс величины Х.

Решение. Определим коэффициент а.

Для этого воспользуемся свойством плотности распределения ; отсюда а = 0,5.

Так как функция нечетная, то математическое ожидание величины Х равно нулю:

.

Дисперсия и среднее квадратичное отклонение, соответственно, равны:

.

Так как распределение симметрично, то A_s = 0.

Для вычисления эксцесса находим .

Отсюда .

Пример 2.3. Вероятность наступления события А в одном опыте равна p. За каждую удачную серию из n опытов, в которых происходит событие А, игрок получает y ⁿ рублей; если же n = 0, то он платит 1 руб. Найти величину y так, чтобы игра была безобидной (математическое ожидание проигрыша равнялось бы нулю).

Решение. Пусть X – выигрыш. Возможные значения величины X в серии: – 1, y, y ², …, y ⁿ…

Тогда М_x = – 1(1 – р) + y×p(1 – p) + ... + pⁿ×yⁿ(1 – p) + … =

= (1 – p)( –2+1/(1–ру)) = (1 – p)(2ру – 1)/(1 – ру) = 0.

Следовательно, у = 1/(2р).

Пример 2.4. Вероятность приема сигнала одной радиостанции другой радиостанцией равна 0.2 при каждой попытке. Позывные сигналы подаются каждые 5 секунд до тех пор, пока не будет получен ответный сигнал. Общее время прохождения позывного и ответного сигналов равно 16 секунд. Найти среднее число подаваемых сигналов до установления двусторонней связи.

Решение. Вероятность того, что ответный сигнал будет получен на первый позывной равна , на второй – , на третий – …, на –й позывной сигнал – .

Вероятность означает, что первые позывных сигналов приемной радиостанцией не приняты, а принят –й позывной сигнал и получен ответный сигнал.

В этом случае средний номер подаваемого сигнала до установления связи будет равен величине

.

С учетом задержки в 3 сигнала среднее число подаваемых сигналов до установления двусторонней связи будет равно

Найдем сумму этого ряда.

Воспользовавшись формулой суммы членов геометрической прогрессии, имеем: ,

продифференцировав его, получим .

Отсюда для случая получаем