2. Дифференциал функции.

Дифференциал функции (dу) - это произведение производной функции на приращение (или дифференциал) аргумента:

dу = у х = у dx. (5)

Аналитический смысл дифференциала заключается в том, что дифференциал dу представляет собой главную часть приращения функции. При малых приращениях можно считать dу  у.

Из смысла дифференциала следует его важное практическое значение: нахождение дифференциала функции позволяет определить, насколько изменилась функция, если произошли небольшие изменения переменной, от которой она зависит.

Пример. Имеется куб с длиной ребра l=1м. На какую величину V изменится объем куба, если длина ребра увеличилась на l=1см?

Эту задачу можно, конечно, решить и методами элементарной математики:

V= (l+l) ³- l³.

Однако, даже в этом элементарном примере необходимо выполнять довольно значительные вычисления.

Учитывая, что приращение объема куба (функции) при малых изменениях длины его ребра (аргумента) примерно равно дифференциалу объема, получим:

V  dV =(l³)’· l = 3l²l = 3·1·0,01=0,03м³.

3. Частные производные

Понятие производной было введено для функции одной переменной. Но чаще возникает необходимость количественного описания процессов, которые зависят от целого ряда параметров. Обозначим, например, состояние организма как некоторую функцию U. Очевидно, что она зависит от целого ряда параметров: x₁, х₂, х_3, х_4, ...._, х_n. Здесь х₁ может означать температуру тела, х₂ - систолическое давление, х₃ - содержание гемоглобина в крови и т.д. Задача выбора информативных и доступных измерению параметров и, особенно, установления характера функциональной зависимости U(x₁, х₂, х_3, х_4, ...._, х_n) весьма сложна. Однако, совершенно очевидно, что математический аппарат для описания процессов жизнедеятельности должен базироваться на применении и исследовании функций многих переменных. Каким образом в этом случае трансформируется понятие производной функции? Для этого вводится понятие частной производной.

Частная производная характеризует темп изменения функции по одной из независимых переменных, в то время как остальные переменные считаются неизменяющимися.

Частная производная от функции U(x,y) по переменной х:

(6)

представляет предел дроби. В числителе этой дроби стоит разность значений функции U при “наращенном” (х + х) и прежнем (х) значениях аргумента. В заменателе же - значение приращения х  0.

Аналогично, частная производная функции U (x,y) по переменной y:

(7)

Нахождение частных производных (дифференцирование функций многих переменных), не представляет особых сложностей.

Пример. Найти частные производные функции U = x³ sin y.

Находя частную производную от функции U по х, переменную y, считаем зафиксированной, т.е. обращается со множителем sin y как с постоянной величиной:

Аналогично, при прохождении частной производной по y постоянным считаем множитель х³ и находим производную от sin y: