Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
lekc_2_matem.doc
Скачиваний:
8
Добавлен:
16.05.2015
Размер:
277.5 Кб
Скачать

Лекция № 2

Доцент Ильич Г.К. ( кафедра мед. и биол. физики )

ПОНЯТИЕ ОБ ИНТЕГРАЛАХ

1.Первообразная функция и неопределенный интеграл

В элементарной математике сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня - примеры взаимообратныхматематических операций. Последовательно примененные к одному и тому же числу эти операции самого числа не изменяют.

(а + b - b= а,=а,=а).

Взаимообратные операции существуют и в высшей математике. Дифференцирование ( нахождение производной) позволяет по некоторой заданной функции найти скорость ее изменения. Операцией, обратной дифференцированию, является интегрирование - нахождение самой функции (первообразной) по заданной скорости ее изменения.

Функцию F(х) называют первообразной функции f(х), если для всех х из области определения функции F (х) = f(х) или dF(х) = f(х) dх.

Иными словами, первообразная функция - это такая, производной от которой является заданная.

Например, задана функция f (x)=. Ее первообразной будетF(x) =х2, так какF (х) =f(х) = 2х. Однако,F(х) =х2 + C, гдеC-произвольная постоянная , так же будет первообразной дляf(х) = 2х, поскольку (х2 +С)=2х.

Совокупность всех первообразных функций для заданной функции f(х) называют определенным интегралом и обозначают :.

2.Определенный интеграл

К понятию определенного интеграла подойдем из рассмотрения геометрической задачи.

Допустим, что некоторая функция задана в виде графика (см. рис.1 ). Поставим задачу: вычислить площадь криволинейной трапецииSABCD , которая образована графиком функции, осью aбсцисс и ординатами, восстановленными из точекх1 = a ихn = b,

Приближенно, значение искомой площади можно найти, разбив криволинейную трапецию на отдельные прямоугольники и сложив их площади. Основанием этих прямоугольников служат малые интервалы х1,х2 ,..,хn, а высотами - ординатыy1,y2 , y3 , ..... , yn. Если основанияхiмалы, то:

. (1)

Соотношение (1) выполняется тем точнее, чем меньше основания прямоугольников хi. Точное же значение искомой площади будет найдено при предельном переходе:

. (2)

Сумма, всех произведений уi хi, ,стоящая под знаком предела, называетсяинтегральной суммой, а ее предел - определенным интегралом от функцииy = f(x)на участке [a,b] . Значенияаиb называют, соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования.

Из проведенного рассмотрения геометрической задачи следует:

1) Определенный интеграл имеет геометрический смыслплощади фигуры, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и ординатами, восстановлеными из значений аргумента в пределах интегрирования.

2) Саму операцию интегрирования можно описать как сложение бесконечного большого количества бесконечно малых величин. Действительно, в формуле (2) при стремлении хi 0каждое слагаемоеyiхi 0(т.е. является бесконечно малой величиной - каждый отдельный прямоугольник стремится выродиться в линию), но число этих слагаемых стремится к бесконечности.

Вычисление определенного интеграла производится с помощью формулы Ньютона-Лейбница:

.

То есть, для нахождения определенного интеграла необходимо найти для подынтегральной функции f(x) первообразнуюF(x) и взять разность значений этой функции на верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Пример 1.Возьмем параболуу = х2 и поставим задачу: вычислить площадьSфигуры, образованной графиком параболы, осьюхи ординатами, восстановленными из значенийх1 = -1 их2 = 2. На рис.4 эта искомая площадь заштрихована.

Задача сводится к нахождению опреленного интеграла:

Пример 2. Скорость движения телаv = 3t2 - 2t (м/с). Какой путьSпройдет тело за 5 с от начала движения? Решение сводится к нахождению определенного интеграла

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]