12. Матричный формализм при описании поляризованных лучей.

Наиболее эффективным способом расчета состояния поляризации излучения является метод матриц Джонса. В его основе положены следующие допущения

• входное излучение является абсолютно поляризованным;

• поляризационная система является линейной.

Основным элементом матричной теории является вектор Максвелла-Джонса, который однозначно показывает структуру поляризованного излучении

,

где каждый элемент вектора-столбца с соответствующим индексом представляет собой компонент комплексной амплитуд поля по соответствующей координате ортогонального базиса, причем А – вещественная амплитуда, а  – вещественная фаза.

Линейность поляризационной системы предполагает выполнение следующей зависимости выходных параметров волны от входных, причем для каждого компонента в виде

или

где дополнительный индекс 0 относится к параметрам входного (начального) пучка, а 1 – к выходному пучку – после поляризационного взаимодействия. Матрица 22 содержит коэффициенты пропорциональности, определяющие действие поляризационного элемента по различным направлениям.

В компактном матричном виде последнее соотношение можно записать как

,

где Е₀ – входной вектор Максвелла-Джонса, Е₁ – выходной вектор Максвелла-Джонса, матрица J – принято называть матрицей Джонса, причем элементы этой матрицы в общем случае комплексны.

Если поляризационная система содержит несколько поляризационных элементов, то их эквивалентное действие учитывается перемножением всех матриц в порядке, противоположном порядку следования оптических элементов на пути распространения излучения

.

Одной из простейших матриц Джонса является матрица изотропной фазовой пластинки, которая обеспечивает добавление постоянного набега фаз к обоим компонентам входного вектора Максвелла-Джонса

.

Более сложным случаем является матрица Джонса двулучепреломляющей пластинки с набегами фаз в ортогональных направлениях и соответственно

.

Наиважнейшим обстоятельством, которое нужно учитывать при проведении моделирования поляризационных процессов, является необходимость учета конкретности направлений, в которых реализуются значения обыкновенного и необыкновенного показателей преломления. При направлении, не совпадающем с главными направлениями конкретной кристаллической структуры действие кристаллической структуры, будет носить промежуточный характер. Для учета этого обстоятельства необходимо ввести в рассмотрение матрицу углового преобразования, которая позволила бы осуществить учет реальной координатной ориентации кристаллической структуры относительно системы координат, в которой ориентирован исходный вектор Максвелла-Джонса. Из математики несложными выкладками матрицу прямого углового преобразования системы координат на угол  (против часовой стрелки) можно записать в следующем виде

.

Тогда матрица обратного углового преобразования будет выглядеть

.

Свойство этих матриц таково, что их произведение всегда будет представлять собой единичную матрицу.

Несложно с учетом последних выражений написать соотношение для трансформации поляризации, вследствие взаимодействия поляризованной волны с произвольно ориентированной двулучепреломляющей кристаллической пластинкой

,

где – обобщенная матрица двулучепреломляющей пластинки, одна из осей которой ориентирована под углом  относительно оси х выбранной (исходной) системы координат.

Далее представлена таблица, где написаны выражения для матриц Джонса основных поляризационных элементов, наиболее часто встречающихся практике.

Поляризационный прибор	Ориентация	Ориентация
Линейный поляризатор
Пластинка  / 4
Пластинка  / 2
Фазовая пластинка
Вращатель поляризации на  / 2