10. Матричное представление геометрической оптики.

Получил распространение так называемый матричный метод геометрического расчета оптических схем. Его формализм оказался удивительно гибким не только при проведении отдельных расчетов распространения лучей, но для создания сложных расчетных приложений для проведения проектировочных или исследовательских расчетов. Однако его применимость и основные формулировки пригодны лишь для параксиального приближения, что вообще характерно для геометрической оптики.

Пусть имеется некоторый оптическая система, которая осуществляет линейное угловое и координатное преобразование входного лучевого вектора в выходной , как это показано на рисунке ниже.

Поскольку в параксиальном приближении угловые смещения предполагаются достаточно малыми, то справедливо соотношение

,

при условии, что – в плоскости z₀, и – в плоскости z₁.

Собственно линейное преобразование выходной координаты и угла наклона лучевого вектора может быть записано в виде системы линейных алгебраических уравнений

,

где A, B, C, D – некоторые константы, однозначно характеризующие данный оптический элемент. В матричном виде последнее соотношение может быть записано

или ,

где ABCD-матрицу M называют лучевой матрицей, причем если оптический элемент объемный, то матричное соотношение будет выглядеть

.

Рассмотрим наиболее характерные ABCD-матрицы, описывающие свойства некоторых часто встречающихся оптических элементов.

1. Свободное пространство протяженностью L:

;

2. Пространство протяженностью L и показателем преломления n:

;

3. Плоское зеркало:

4. Тонкая линза с фокусным расстоянием f, причем f  > 0, если линза собирающая и f < 0 – рассеивающая:

5. Сферическое зеркало с радиусом кривизны R, причем R > 0, если зеркало вогнутое и R < 0 – выпуклое:

.

6. Сферическая граница раздела сред с радиусом R и показателями преломления n₁ и n₂, причем R > 0, если граница выпуклая и R < 0 – вогнутая

.

Все соотношения включают в себя правило знаков для угла распространения излучения. Если лучевой вектор направлен в туже сторону, что и ось z, то угол ₀ будет положительным, если поворот от к будет против часовой стрелки; в противном случае знак ₀ принято считать отрицательным.

Важным для практического использования является рассмотрение оптических систем с набором оптических элементов, которые располагаются по направлению распространения излучения последовательно. В этом случае результирующая лучевая М – эквивалентная лучевая матрица – будет представлять собой произведение лучевых матриц составляющих элементов, записанных в порядке, противоположном реальному порядку следования оптических элементов в оптической схеме

,

а выходной пучок будет подчиняться матричному соотношению .

Рассмотрим пример. Пусть излучение распространяется от некоторой плоскости до линзы, расположенной на расстоянии L₁, а от линзы еще на расстояние L₂. Параметры излучения в плоскости наблюдения, расположенной на расстоянии от исходной плоскости можно рассчитать по соотношению

.

Для проверки входной пучок определим, как параллельный оптической оси, поэтому после линзы излучение на расстоянии распространения, равным f, обязательно пройдет через задний фокус линзы, т.е.

.

Из последнего соотношения видно, что независимо от размера входного пучка все параллельные лучи будут сходиться в заднем фокусе линзы под углами, которые уже будут зависеть от координаты входного луча

.

Детальный анализ коэффициентов ABCD-матрицы дает возможность достаточно легко решить задачу отыскания сопряженных плоскостей в оптической системе. Если от предмета до линзы имеется расстояние L₁, то изображение этого предмета после линзы находится в сопряженной с предметом плоскости и при этом коэффициент B эквивалентной лучевой матрицы, включающей распространение излучения от предмета до плоскости сопряжения, через линзу, должен равняться нулю. Смысл последнего хорошо виден из соотношения распространения, которое может быть записано как

,

т.е. все лучи, выходящие из выбранной точки предмета под разными углами, придут в сопряженной плоскости в другую точку, являющейся изображением выбранной. Значение А в данном случае выполняет роль масштабного коэффициента, причем если , то изображение является перевернутым относительно самого объекта.

Найдем матричным способом расстояние, на котором располагается от линзы спряженная плоскость в однолинзовой системе. Общее соотношение распространения излучения от предмета до плоскости наблюдения в этом случае может быть записано

,

где x – искомое расстояние от линзы до искомой сопряженной плоскости, где выполняется условие В = 0. Именно поэтому должно выполняться условие , из которого в явном виде можно получить . Это выражение полностью эквивалентно хорошо известному соотношению для тонкой линзы

.

Если оптическая система будет иметь несколько линз, то очевидно, что возможно появление нескольких сопряженных плоскостей, что дает возможность плавного перестроения изображения, как это делается в современных объективах-трансфокаторах.

Здесь же можно получить еще одно очень важно правило – правило ABCD. Это правило позволяет в рамках матричного формализма определить радиус кривизны фронта световой волны, после прохождения последней многоэлементной оптической системы. Согласно этому правилу радиус кривизны волны можно рассчитать в геометрическом приближении

,

где R₀ – кривизна фронта световой волны на входе в оптическую систему.

Рассмотрим пример использования правила ABCD. Пусть в плоскости z₀ кривизна фронта световой волны составляла величину R₀. Необходимо определить кривизну фронта в плоскости z₁, отстоящей от входной на расстоянии L.

Совершенно очевидно, что радиус кривизны определяется

.

Теперь докажем это матричным способом. В схеме один оптический элемент – свободное пространство, лучевая матрица которого имеет вид

.

Тогда выходной радиус кривизны будет иметь вид

,

что собственно и требовалось доказать.