- •1. Предметная область курса «Основы оптики»
- •2. Структуризация оптического объекта (на примере лазера).
- •Литературные источники.
- •3. Линейная электродинамика. Уравнения Максвелла.
- •4. Материальные уравнения.
- •5. Замечание о дифференциальных операторах векторного и скалярного полей.
- •6. Волновое уравнение.
- •7. Особенности представления электромагнитных волн.
- •8. Элементы линейной дисперсионной теории.
- •9. Геометрическая оптика.
- •10. Матричное представление геометрической оптики.
- •11. Поляризация излучения.
- •12. Матричный формализм при описании поляризованных лучей.
- •13. Особенности отражения и преломления свет на границе раздела двух изотропных, однородных, диэлектрических сред.
9. Геометрическая оптика.
Рассматриваем линейно поляризованную волну, что дает возможность, как отмечалось ранее, в 3 раза снизить мерность решаемой задачи. Основное влияние сосредотачивается на анализе энергетики волны и направлении ее распространения с сохранением структуры поляризации.
Основа – скалярное волновое уравнение
,
где в качестве функции поля рассматривается комплексная функция поля вида
,
где – вещественная функция пространственных координат амплитуды поля; – вещественная функция пространственных координат, имеющую размерность [м] (ее смысл будет рассмотрен далее).
Несложно подставить функцию Е выбранного вида в волновое уравнение и определить условия, при которых она будет удовлетворять скалярному уравнению. После всех преобразований получится система уравнений
Далее можно осуществить предельный переход к геометрической оптике вида
Последняя система уравнений называется дифференциальными уравнениями геометрической оптики или, согласно Клаузиусу – уравнениями эйконала1.
Первое уравнение определяет скорость распространения световой волны (волнового фронта) в направлении нормали к нему.
Второе уравнение определяет луч как ортогональную траекторию к семейству волновых фонтов или семейству поверхностей равных фаз.
Первое уравнение несложно перевести в векторную форму
,
где – единичный вектор нормали к фронту световой волны. Далее после несложных преобразований можно записать
,
где ds – дифференциал дуги при дифференциале радиус-вектора.
Если в последнем соотношении положить n(x,y,z)=const, дифференциальное уравнение разрешается аналитически. Решение можно записать в виде
.
Т.е. в изотропной, однородной среде согласно решению свет распространяется по прямой линии, параллельно вектору и проходя через точку .
Вектор – принято называть лучевым вектором; он имеет длину, равную показателю преломления среды распространения, а направление – ортогональное фронту (волновому фронту) световой волны. Поле лучевого вектора является безвихревым (потенциальным), для которого справедливо соотношение
или .
С использованием теоремы Стокса можно решить задачу о прохождении лучевого вектора через границу раздела сред с разными показателями преломления.
В результате получатся, так называемые, основные формулировки (составные части) закона Снеллиуса:
падающий лучевой вектор , преломленный лучевой вектор и единичный вектор нормали , направленный из первой среды во вторую, все лежат в одной плоскости;
касательная составляющая (на поверхность разрыва показателей преломления) лучевого вектора не претерпевает разрыва
;
справедливо количественное выражение
или ,
где 1 и 2 – углы падения и преломления, соответственно.
Принцип Ферма. Современное представление величины эйконала, он же оптический путь l0
.
Это принцип наикротчайшего оптического пути, т.е. оптическая длина пути l0 реального луча между любыми двумя точками Р1 и Р2 короче оптической длины любой другой кривой, соединяющей эти точки и лежащей в регулярной окрестности луча.