Часть 2. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций и построению их графиков

В этом разделе мы рассмотрим как построить график функции, используя теорию пределов и дифференциальное исчисление.

1. Признак возрастания и убывания функции

Зная производную функции, мы можем выяснить на каком промежутке функция будет возрастать, а на каком убывать. Вспомним сначала определение монотонной функции.

Определение 3. 5 Функция , определенная на некотором промежутке вещественной оси, называется возрастающей (убывающей) на этом промежутке, если для любых и из этого промежутка, таких, что выполняется неравенство (соответственно, неравенство ).

Если функция возрастает на некотором промежутке, то функция , получающаяся из изменением знака у всех ее значений является убывающей на этом промежутке функцией.

Возрастающие и убывающие на некотором промежутке функции называются монотонными на этом промежутке.

Если в определении 3 при выполняется строгое неравенство (соответственно ), то функция называется строго возрастающей (строго убывающей).

Функция, строго возрастающая или строго убывающая, называется строго монотонной.

Очевидно, что строго монотонная (возрастающая, убывающая) функция является и просто монотонной (соответственно возрастающей, убывающей) функцией в смысле определения 3.

Рассмотрим некоторый интервал вещественной оси. Сформулируем теорему, которая содержит необходимое и достаточное условие возрастания и убывания функции на интервале .

Теорема 1. 6 Для того чтобы дифференцируемая на интервале функция возрастала (убывала) на этом интервале необходимо и достаточно, чтобы во всех его точках производная этой функции была неотрицательной, (соответственно, неположительной, ).

Если всюду на производная положительна: (соответственно отрицательна: ), то функция строго возрастает (строго убывает) на рассматриваемом интервале.

Условия и не являются необходимыми для строгого возрастания, соответственно строгого убывания, функции, Например, функция строго возрастает на любом интервале вещественной оси, но .

Теорема остается верной для непрерывных функций, не имеющих в конечном числе точек производной. Утверждение второй части теоремы остается в силе, если кроме того, в конечном числе точек производная обращается в нуль.

Пример 14. Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение. Определим производную :

Очевидно, что при любом значении , следовательно, функция возрастает на всей числовой оси.

В частности, поскольку , то для всех выполняется неравенство или

2. Локальные экстремумы функции

Введем определения локального максимума и минимума функции, а также признаки их существования.

Определение 4. 7 Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Точка называется точкой локального максимума (соответственно точкой локального минимума) функции , если существует такое , что для всех удовлетворяющих условию , выполняется неравенство (соответственно ).

Если существует такое , что для всех , таких, что , выполняется неравенство (соответственно , то называется точкой строгого локального максимума (соответственно строгого локального минимума).

Точки (строгого) максимума и минимума называются точками (строгого) экстремума.

Например, на рис. 33 точки и являются точками локального максимума, а точки и - локального минимума.

Рис. 33. Экстремумы функции.

Для точек строгого экстремума функции , и только для них, приращение не меняет знака при переходе аргумента через , т. е. при изменении знака . Именно для точек строгого максимума и в случае строгого минимума независимо от знака достаточно малого .

Приведем необходимые условия наличия локального экстремума функции.

Теорема 2. 8 (необходимые условия экстремума). Пусть является точкой экстремума функции , определенной в некоторой окрестности точки . Тогда либо производная не существует, либо .

Отметим, что условие не является, для дифференцируемой при функции, достаточным условием наличия экстремума, как это показывает пример функции , которая для имеет производную, равную нулю, но для которой не является точкой экстремума.

Приведем теперь теоремы, содержащие достаточные условия строгого локального экстремума функции в терминах смены знака производной и для функции, имеющей производные высших порядков.

Теорема 3. 9 (достаточные условия строгого экстремума). Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки , в которой, однако, функция непрерывна. Тогда точка является точкой строгого максимума, если существует окрестность точки , в которой при и при .

Если же при и при , то - точка строгого минимума.

Теорема 4. 10 Пусть в точке у функции существуют производные до порядка включительно, причем

Тогда, если , , т. е. — четное число, то функция имеет в точке строгий экстремум, а именно максимум при и минимум при . Если же , , т. е. - нечетное число, то функция не имеет в точке экстремума.

Следствие. 11 Если , а , то при является точкой строгого минимума, а при - точкой строгого максимума функции .

Отметим также, что точка, в которой функция определена, а ее производная равна нулю, называется стационарной точкой, а точка, в которой функция определена, а ее производная либо равна нулю, либо не существует, называется критической точкой.

В заключении этого пункта запишем правило нахождения тех значений , при которых достигает максимума или минимума:

• нужно найти ;

• найти те значения , при которых обращается в нуль или не существует, т.е. решить уравнение и определить точки разравы функции ;

• исследовать изменение знака при переходе через эти значения по следующей схеме

Таблица 5.

		максимум

Таблица 6.

		минимум

Значения , в которых исследуется знак производной, нужно брать достаточно близкими к . Стрелка означает, что в рассатриваемом промежутке функция убывает, стрелка обозначает возрастание функции. Если производная сохраняет знак при переходе через , то экстремума в точке нет.

Пример 15. Найти максимумы и минимумы функции

Решение. Функция определена и дифференцируема на всей числовой оси. Найдем первую производную

Производная определена на всей числовой оси. Очевидно, что равна нулю в точках , .

Исследуем знак в зависимости от расположения точки на числовой оси. Заметим, что в выражении множитель неотрицателен для всех , поэтому на знак влияют только множители и . При выражение меньше нуля и (чтобы в этом убедиться, достаточно положить равным нулю). Когда получим и . При будем иметь и . Наконец, при получим и . Сведем полученные результаты в таблицу:

Таблица 7.

		макс.		мин.

Итак, являетя точком максимума и значения функции в этой точке равно . Точка - точка минимума, при этом .

График функции изображен на рис. 34.

Рис. 34. График функции при .