- •Графики функций
- •Оглавление
- •Часть 1. Построение эскизов графиков функций 4
- •Часть 2. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций и построению их графиков 38
- •Введение
- •Часть 1. Построение эскизов графиков функций
- •1. Графики основных элементарных функций
- •1.1. Постоянная и степенная функции
- •1.2. Показательная и логарифическая функции
- •1.3. Тригонометрические функции
- •1.4. Обратные тригонометрические функции
- •2. Элементарные преобразования графиков
- •3. Построение графиков функций, не являющихся элементарными
- •4. Действия с графиками функций
- •4.1. Сложение и вычитание графиков
- •4.2. Умножение и деление графиков
- •4.3. Построение графиков сложных функций
- •5. Графики в полярных координатах
- •5.1. Полярные координаты
- •5.2. Графики кривых в полярных координатах
- •Часть 2. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций и построению их графиков
- •1. Признак возрастания и убывания функции
- •2. Локальные экстремумы функции
- •3. Выпуклость функции. Точки перегиба
- •4. Асимптоты
- •5. Порядок построения графика функции, заданной выражением
- •6. Построение графика функции, заданной параметрически
- •6.1. Порядок построения графика параметрически заданной функции
- •6. 2. Асимптоты параметрического графика
- •6. 3. Точки перегиба
- •6.4. Пример построения графика параметрически заданной функции
- •Список литературы
5. Графики в полярных координатах
5.1. Полярные координаты
Положение точки в полярных координатах на плоскости (см. рис. 28) определяется:
1) ее расстоянием от некоторой данной точки , называемой полюсом;
2) углом , который образует отрезок с заданным направлением прямой , которая называется полярной осью).
Рис. 28. Точка в полярных координатах.
При этом называют радиусом-вектором и - полярным углом. Если принять полярную ось за , а полюс - за начало координат, то имеем, очевидно (см. рис. 29):
Рис. 29. Точка в полярных координатах.
Данному положению точки соответствует одно определенное положительное значение и бесчисленное множество значений , которые отличаются слагаемым, кратным . Если совпадает с , то и - неопределенно.
Всякая функциональная зависимость вида (явная) или (неявная) имеет в полярной системе координат свой график.
В дальнейшем мы будем рассматривать не только положительные, но и отрицательные значения , причем если некоторому значению соответствует отрицательное значение , то условимся откладывать это значение в направлении, прямо противоположном тому направлению, которое определяется значением .
5.2. Графики кривых в полярных координатах
Для того, чтобы построить график в полярных координатах по точкам нужно заполнить таблицу, в первой строке которой записать значения угла из интересующего промежутка, а во второй - соответствующие значения функции . Затем, отметить и соединить эти точки плавной линией.
Построим графики функций, которые часто бывают заданы в полярных координатах.
Спирали. Пусть , . Рассмотрим три вида спиралей:
• спираль Архимеда: ,
• гиперболическая спираль:
• логарифмическая спираль: .
Спираль Архимеда . График функции имеет вид, изображенный на рис. 30 а), причем пунктир соответствует части кривой при . Отрицательным значениям соответствуют и отрицательные значения , и их надо откладывать в направлении, противоположном тому направлению, которое определяется значением . При этом заполнять таблицу значений и нет необходимости в силу простой функциональной завиимости между и .
Рис. 30. Графики функций , и .
Гиперболическая спираль . Особенностью этого графика (см. рис. 30 б) является то, что расстояние между любой точкой этой кривой и полярной осью не превосходит (т.е. кривая имеет асимптоту, параллельную полярной оси и проведенную на расстоянии от нее).
Предполагая и заполним таблицу для и .
Таблица 4.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечаем, что будет увеличиваться при уменьшении . При этом, график не имеет общих точек с прямой, параллельной полярной оси и проходящей на расстоянии от неё. Далее, видим, что не обращается в нуль ни при каких конечных значениях , а только будет уменьшаться с увеличением . Кривая будет поэтому беспредельно приближаться к полюсу , закручиваясь около него, но никогда не пройдет через в противоположность спирали Архимеда.
Отметив и соединив плавной линией точки таблицы 2, а также учитывая поведение функции при увеличении и уменьшении угла получим график функции (см. рис. 30 б).
Логарифмическая спираль . При имеем . Если , то при увеличении увеличивается и . Если , то при уменьшении радиус-вектор приближается к нулю.
Логарифмическая спираль изображена на рис. 30 в.
Розы. Розами, или кривыми Гвидо Гранди, называютя кривые, полярное уравнение которых имеет вид или . Будем рассматривать случай, когда , - целое положительное число.
Заметим, что поскольку правая часть уравнения розы не может превышать , то вся кривая находится внутри круга радиуса . Так как и являются переодическими функциями, то роза состоит из лепетков, симметричных относительно наибольших радиусов, каждый из которых равен . При этом если нечетное число, то число лепестков равно , а если - чётное, то роза имеет лепестков.
Графики функций , , и изображены на рис. 31.
Рис. 31. Графики функций , , и .
Улитка Паскаля и кардиоида. Полярное уравнение улитки имеет вид . Если , то это уравнение дает только положительные значения (см. рис. 32 a)). Если , то будет принимать и отрицательные значения (см. рис. 32 б)). Наконец, при уравнение улитки будет и в этом случае улитка представляет собою кардиоиду (см. рис. 32 в)).
В качестве примера приведем графики функций , и на рис. 32.
Рис. 32. Графики функций , и .