- •Механіка
- •Список рекомендованої літератури
- •Перелік лабораторних робіт з механіки
- •Зразок оформлення звіту про виконану роботу
- •Фізичний експеримент. Математичне опрацювання результатів вимірювань
- •1. Фізичні величини та їхнє вимірювання
- •2. Опрацювання результатів прямих вимірювань
- •Обчислення з наближеними числами. Правила заокруглення
- •Вступ. Основні поняття класичної механіки
- •1.2. Елементи кінематики абсолютно твердого тіла
- •2. Основи динаміки
- •2.1. Закони динаміки матеріальної точки
- •2. 2. Закони динаміки системи матеріальних точок. Теорема про рух центра мас
- •2.3. Закон динаміки обертального руху матеріальної точки
- •2.4. Закон динаміки обертального руху абсолютно твердого тіла
- •3. Сили в механіці
- •3.1. Гравітаційні сили
- •3.2. Сили тертя
- •3.3. Пружні сили
- •3.3.1. Деформація розтягу (стиску). Закон Гука
- •3.3.2. Деформації зсуву, кручення та згину
- •4. Робота та енергія
- •4.1. Робота, енергія, кінетична енергія
- •4.2. Кінетична енергія обертального руху
- •4.3. Консервативні сили. Потенціальна енергія
- •4.4. Центрально-симетричне поле
- •4.5. Потенціальна енергія тіла у полі сил тяжіння Землі.
- •4.6. Потенціальна енергія розтягненої (стисненої) пружини
- •4.7. Зв’язок між силою, що діє на тіло, і його потенціальною енергією
- •5. Закони збереження в механіці
- •5.1. Закон збереження імпульсу
- •5.2. Закон збереження моменту імпульсу
- •5.3. Закон збереження механічної енергії
- •5.4. Застосування законів збереження для опису зіткнень
- •5.4.1. Абсолютно пружний центральний удар двох тіл
- •5.4.2. Абсолютно пружний нецентральний удар
- •5.4.3. Абсолютно непружний удар.
- •6. Механіка рідин
- •6.1. Закони гідростатики
- •6.2. Основні поняття гідродинаміки. Стаціонарний рух рідини. Рівняння Бернуллі
- •6.3. Рух в’язкої рідини. Ламінарна і турбулентна течія. Формула Пуазейля.
- •6.4. Рух твердих тіл у рідинах
- •7. Коливання в механічних системах
- •7.1. Характеристики гармонійних коливань
- •7.2. Коливання під дією пружної сили. Енергія коливань
- •7.3. Вільні коливання систем під дією пружних та квазіпружних сил
- •7.3.1. Коливання крутильного маятника
- •7.3.2. Коливання математичного маятника
- •7.3.3 Коливання фізичного маятника
- •7.4. Додавання коливань
- •7.4.1. Додавання коливань однакового напрямку
- •7.4.2. Додавання взаємно перпендикулярних коливань
- •7.5. Коливання за наявності сил опору середовища. Згасаючі коливання та їх характеристики.
- •7.6. Вимушені коливання
- •7.7. Параметричне збудження коливань
- •7.8. Автоколивання
- •8. Пружні хвилі
- •8.1. Характеристики хвиль
- •8.2. Рівняння хвилі
- •8.3. Хвильове рівняння
- •8.4. Швидкість поширення пружних хвиль в середовищі
- •8.5. Енергія пружних хвиль
- •8.6. Інтерференція хвиль. Стояча хвиля
- •8.7. Дифракція хвиль
- •8.8. Звукові хвилі
- •9. Математичний додаток
- •9.1. Вектори та математичні дії з векторами.
- •9.1.1. Елементарні дії з векторами
- •9.1.2. Скалярний добуток двох векторів
- •9.1.3. Векторний добуток двох векторів
- •9.1.4. Подвійний векторний добуток трьох векторів
- •9.2. Поняття функції багатьох змінних. Частинні похідні. Повний диференціал. Градієнт скалярної функції багатьох змінних
- •9.3. Комплексні числа та їх використання під час розгляду коливних і хвильових процесів
Обчислення з наближеними числами. Правила заокруглення
Під час математичного опрацювання результатів експерименту доводиться виконувати ряд математичних операцій над конкретними числами, користуючись, як правило, калькулятором. Тут виникає закономірне запитання, як правильно заокруглити результат обчислення, беручи до уваги, що вихідні дані – це результати прямих вимірювань, що мають певну точність, тобто є наближеними числами. Наприклад, вам потрібно обчислити середнє значення виміряного експериментально три рази часу руху тіла: t1 = 5,13c; t2 = 5,12c; t3 = 5,12c (точність вимірювань 0,01с). Скориставшись калькулятором, ви отримаєте 5,123333333333. Цілком зрозуміло, що цей результат не можна подати з такою точністю, оскільки вона значно перевищує точність вимірювання вихідних даних. Як же заокруглити отриманий результат? Щоб дати відповідь на це запитання, введемо деякі поняття і вкажемо правила заокруглення, яких слід дотримуватись під час обчислень.
Сумнівною цифрою у записі наближеного числа називають наступну цифру розряду, що відповідає точності вимірювань. У прикладі, наведеному вище, 5,123333333333, підкреслена цифра 3 є сумнівною. Зліва від сумнівної містяться правильні цифри, а справа – неправильні.
Значущими цифрами числа є всі правильні та сумнівна цифри числа. Незначущими цифрами є нулі на початку числа, за допомогою яких визначають розряди десяткових дробів у числах, що менші за одиницю, а також цифри множника 10n.
Наприклад, число 9,81 містить три значущі цифри, числа 0,23; 0,023; 2,3×10-2; 5,6 104 мають дві значущі цифри, у числах 5,007; 80,43; 2000; 4,000 є чотири значущі цифри.
Результат будь-якої математичної дії з наближеними числами є також наближене число яке потрібно заокруглювати. Встановлені наступні правила заокруглення:
– під час додавання (віднімання) заокруглений результат міститиме стільки цифр після коми, скільки їх є у вихідному числі з найменшою кількістю цифр після коми. Наприклад:
0,56+0,02+3,5+0,003 = 4,083 » 4,1
25,67 – 3,8 + 32 = 53,87 » 54.
У наведених прикладах підкреслені доданки мають найменшу кількість цифр після коми. Таку ж кількість цифр після коми містять і заокруглені результати.
– під час множення, ділення, піднесення до степеня і добуванні кореня заокруглений результат міститиме стільки значущих цифр, скільки їх є у вихідному числі з найменшою кількістю значущих цифр. Наприклад:
5,67 ´ 0,33 = 1,8711 » 1,9; 56,89 / 6,4 = 8,88906 » 8,9;
0,0323 = 0,00003277 » 3,3 10-5; = 2,00025 » 2,000.
– під час логарифмування мантиса заокругленого результату має стільки значущих цифр, скільки їх є в числі, яке логарифмується. Наприклад:
lg54,6 = 1,73719 » 1,737.
Слід також зауважити, що під час математичного опрацювання результатів експерименту сумнівну цифру враховують, обчислюючи середнє значення вимірюваної величини. Під час обчислень похибок проміжні результати завжди заокруглюють у бік збільшення. Наприклад:
(Dd)2 = (0,12)2 = 0,0144 »0,015
Остаточний результат записують числом, яке містить лише правильні цифри. Згідно вимог стандартів сумарна похибка записується числом з кількістю значущих цифр не більше двох.