7. Коливання в механічних системах
Коливними процесами називають зміни фізичних величин, що відзначаються певною періодичною повторюваністю. Коливні процеси розрізняють за їхньою фізичною природою (коливання механічні, електричні, електромеханічні, електромагнітні та ін.), за характером здійснення самих коливань та способом забезпечення коливної системи енергією (коливання власні або вільні, вимушені, параметричні, автоколивання) та за характером часової залежності фізичної величини, або за виглядом функціональних залежностей, що їх описують.
Спільною
рисою всіх коливних процесів є те, що
незалежно від їхньої природи існують
спільні закономірності розгляду та
математичні методи дослідження коливань.
Зокрема, це, передусім, стосується опису
часових залежностей коливань фізичних
величин. У даному розділі розглянемо
лише так звані гармонійні коливання,
тобто коливання, за яких часова залежність
змін фізичних величин описується
функціями типу
,
або
.
Увага до розгляду гармонійних коливань
зумовлена тим, що довільна періодична
функціональна залежність з допомогою
рядів Фур’є може бути наведена як
суперпозиція гармонійних функцій з
кратними частотами. Перетворення даного
типу вивчаються математично в гармонійному
аналізі.
7.1. Характеристики гармонійних коливань
Розглянемо механічні гармонійні коливання, тобто зміни фізичної величини , що описуються функціями:
;
або
(7.1)
В
даних виразах
- миттєве значення величини
на момент часу
;
- амплітуда коливань – максимальне
значення величини
:
;
- циклічна частота коливань;
- фаза коливання,
- початкова фаза, яка характеризує
миттєвий стан коливної системи на
початковий момент часу
.
Період
- це час, упродовж якого здійснюється
одне повне коливання і система повертається
в попередній стан:
,
звідки
.
Таким чином взаємозв’язок між періодом і циклічною частотою:
,
або
,
чи
. (7.2)
Величину,
обернену до періоду
,
називають частотою коливань (кількість
коливань, здійснених за одиницю часу):
.
Взаємозв’язок
між циклічною частотою
та частотою
:
(7.3)
Якщо величина є зміщенням системи від положення рівноваги чи координатою матеріальної точки, що здійснює гармонійні коливання, то швидкість і прискорення коливної системи можна знайти, взявши відповідні похідні за часом від :
(7.4)
(7.5)
Максимальні
значення
:
;
;
отримують із зсувом фаз на кут
одне від одного.
На підставі (7.5) можна отримати рівняння руху коливної системи. Згідно з другим законом Ньютона для одномірного руху:
,
(7.6)
(7.7)
Рівняння (7.7) є рівнянням руху одномірної коливної системи (рівнянням одномірного осцилятора). З виразу (7.6) видно, що одномірні коливання виникають під дією сили, яка за своїм аналітичним виразом може бути подана у вигляді:
(7.8)
де
- деяка стала, більша за нуль. Запис даної
сили за своїм виглядом аналогічний до
запису закону Гука для деформації
розтягу (стиску)
.
Можна стверджувати, що гармонійні коливання виникають під час руху під дією пружної сили, або під дією сили довільної природи, для якої справедливий вираз, аналогічний до (7.8). Тому силу, що описується виразом (7.8) назвемо квазіпружною.