- •Розділ 3. Вступ у математичний аналіз § 1. Множини дійсних чисел
- •1.1. Сталі і змінні величини
- •1.2. Множини дійсних чисел
- •1.3. Абсолютна величина дійсного числа
- •Властивості абсолютної величини
- •1.4. Властивості абсолютної величини, зв’язаної з нерівностями величин. Окіл точки
- •1.5. Верхня і нижня грані дійсних чисел
- •§2. Класифікація функцій
- •2.1. Поняття функції. Способи задання функції
- •2.2. Класифікація функцій
- •2.3. Криві попиту і пропозиції. Точка рівноваги
- •§ 3. Границя числової послідовності
- •3.1. Числова послідовність
1.3. Абсолютна величина дійсного числа
Означення 2. Абсолютною величиною (або модулем) дійсного числа називається саме число , якщо додатне і число - , якщо від’ємне. Абсолютна величина приймається рівною 0 і позначають
Наприклад, .
Властивості абсолютної величини
1. Абсолютна величина алгебраїчної суми не більша суми абсолютних величин , тобто
2. Абсолютна величина добутку дорівнює добутку абсолютних величин множників :
3. Абсолютна величина частки дорівнює частці від ділення абсолютних величин діленого і дільника : , якщо .
4. Для будь-якого правильні співвідношення:
1.4. Властивості абсолютної величини, зв’язаної з нерівностями величин. Окіл точки
1. Нехай . Нерівність рівносильна нерівностям .
2. Нехай . Нерівність рівносильна
нерівностям .
Означення 3. Околом точки називається кожен інтервал вигляду ( ), де .
Таким чином, запис , , означає множину чисел , що знаходяться в околі точки .
1.5. Верхня і нижня грані дійсних чисел
Нехай дано непорожню множину дійсних чисел ( Множина називається обмеженою зверху (знизу), якщо існує дійсне число таке, що для всіх є правильна нерівність .
Число при цьому називається верхньою (нижньою) межею множини . Зрозуміло, що коли -верхня (нижня) межа множини , то будь-яке число також буде верхньою (нижньою) межею.
Означення 4. Найменша верхня межа непорожньої обмеженої зверху множини дійсних чисел називається точною верхньою межею або верхньою гранню цієї множини і позначається sup .
Означення 5. Найбільша нижня межа непорожньої обмеженої знизу множини дійсних чисел називається точною нижньою межею або нижньою гранню цієї множини і позначається inf .
Наприклад, якщо , то sup =1, inf =0.
Тут верхня грань, яка дорівнює 1, належить множині а нижня грань, яка дорівнює 0, множині не належить. Коли у множині є найбільше (найменше) число , тобто таке число , що будь-яке число задовольняє нерівність
, то це число й буде верхньою (нижньою) гранню множини . Однак не в усякій непорожній обмеженій зверху (знизу) множині дійсних чисел є найбільше (найменше ) число. Наприклад, у розглянутій вище множині є найбільше число, але немає найменшого, а у множині немає ні найменшого, ні найбільшого числа.
Сформулюємо без доведення наступне твердження.
ТЕОРЕМА 1. У будь-якої непорожньої обмеженої зверху (знизу) множини дійсних чисел існує верхня (нижня) грань.
Надалі нам доведеться часто користуватися наступними двома властивостями sup і inf .
Властивість 1 . Якщо - непорожня обмежена зверху множина дійсних чисел і , то для будь-якого правильна нерівність і для будь-якого числа існує число таке, що
В ластивість 2 . Якщо - непорожня обмежена знизу множина дійсних чисел і , то
1) для будь-якого правильна нерівність ;
2) для будь-якого числа
існує число таке, що
З азначимо, що коли множина дійсних чисел необмежена зверху (знизу), то за означенням