Розділ 3. Вступ у математичний аналіз § 1. Множини дійсних чисел

1.1. Сталі і змінні величини

Коли ми вивчаємо деякі питання з області математики, фізики, механіки, економіки і т.д., то зустрічаємося з величинами, які зберігають стале числове значення і називаються сталими, а інші можуть приймати різні числові значення і називаються змінними.

Наприклад, до сталих величин можна віднести число , яке рівне відношенню довжини кола до діаметра.

До змінних величин можна віднести температуру зовнішнього середовища, яка протягом дня змінюється; загальну суму грошей, яку отримує магазин від продажу продукції протягом дня і т.д.

1.2. Множини дійсних чисел

У курсі вищої математики найбільший інтерес становлять числові множини, тобто множини, елементами (величинами) яких є числа. Серед числових множин будемо розглядати такі:

1. Множина всіх натуральних чисел

2. Множина всіх цілих чисел

3. Множина всіх раціональних чисел ціле, натуральне число.

4. Множина всіх дійсних чисел

Множина всіх дійсних чисел складається з усіх раціональних і ірраціональних чисел. Ірраціональними числами називаються нескінченні неперіодичні десяткові дроби. Наприклад, , і т.д.

Зауважимо, що пряма лінія, на якій вказані початок відліку, масштаб і напрямок, називається числовою віссю.

Між множиною точок числової осі і множиною всіх дійсних чисел існує взаємно однозначна відповідність. Це означає, що кожна точка числової осі відображає одне дійсне число, і навпаки, кожне число являється координатою конкретної однієї точки числової осі.

Означення 1. Інтервалом називається множина всіх чисел (точок), які знаходяться між двома якими-небудь числами (точками), що називаються кінцями інтервалу.

Інтервал з кінцями і , де , можна задати нерівностями або записати

Якщо разом з множиною точок інтервалу розглядати і його кінці, то одержимо замкнений інтервал або відрізок . Замкнений інтервал з кінцями і задається нерівностями ; його позначають так: Інтервал називається відкритим, а інтервали піввідкритими.

Множину дійсних чисел, що задовольняє нерівність позначають , а множину чисел, що задовольняють нерівність позначають символом .

Ми будемо розглядати також числові інтервали , тобто множину чисел таких, що і , якщо .

Множину всіх дійсних чисел будемо називати числовим інтервалом , якщо .

Зауважимо, що більшість понять у математиці вводиться за допомогою означень. Наприклад, квадрат можна означити як прямокутник, у якого всі сторони рівні між собою. Тут більш вузьке поняття - квадрат означається через посередництво іншого більш широкого поняття - прямокутника. Зрозуміло, що дати строге означення всіх понять, які є в математиці, неможливо. Деякі найбільш загальні поняття (первісні) слід засвоїти не за допомогою означень, а іншим шляхом. До таких понять належить поняття множини. Це поняття засвоюємо, розглядаючи приклади. Так можна говорити про множину всіх міст певної конкретної країни, про множину всіх студентів деякого факультету, про множину чисел, які наведені вище у даному пункті. Множини позначають великими буквами: та ін. Кожна множина складається з елементів, які позначають малими буквами: та ін. Наприклад, число 21 є елемент множини всіх натуральних чисел. Те, що елемент належить множині записують так: . Якщо елементи не належать множині , то записують .

Нехай дано дві множини і . Якщо кожний елемент множини є одночасно й елементом множини , то кажуть, що мно-

жина є підмножиною , і записують або .

Якщо і , то кажуть, що множини і рівні і записують

У математиці розглядають і так звану порожню множину, яка не містить жодного елемента. ЇЇ позначають знаком Ø. Наприклад, множина всіх дійсних коренів рівняння є порожня множина (рівняння немає дійсних коренів).