Лекция 5 Тема 5: Непрерывные случайные величины. Нормальный закон распределения

ПЛАН

1. Функция распределения случайной величины, ее свойства и график.

2. Непрерывная случайная величина (НСВ). Плотность вероятности НСВ, ее определение и свойства

3. Равномерный закон распределения и его числовые характеристики.

1. Функция распределения случайной величины, ее свойства и график

Функция распределения случайной величины — одно из фундаментальных понятий теории вероятностей, поскольку является универсальным описанием любой случайной величины. Функция распределения F(x) представляет вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х, т.е. F(x) = Р(Х < х). Необходимо знать свойства функции распределения F(x) .

Определение 1. Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), которая определяется равенством

.

Функцию F(x) называют также интегральной функцией распределения.

Свойства функция распределения F(x) случайной величины Х:

1. F(x) — неотрицательная функция.

2. F(x) — неубывающая функция.

3. ; .

4. Приращение F(x) на промежутке [х₁; х₂) равно вероятности того, что случайная величина Х принимает значение из этого промежутка:

F(x₂) – F(x₁) = P(x₁  Х < x₂).

Доказательство. Свойства 1-3 вытекают непосредственно из определения функции F(x). Свойство 4 следует из теоремы сложения вероятностей: F(x₂) = P(Х < x₂) = P(Х < x₁) + P(x₁  Х < x₂) = F(x₁) + P(x₁  Х < x₂).

Отсюда P(x₁  Х < x₂) = F(x₂) – F(x₁).

Функция распределения дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков F(x) равна 1.

2. Непрерывная случайная величина (нсв). Плотность вероятности нсв, ее определение и свойства

Понятие непрерывной случайной величины является непосредственным обобщением понятия дискретной случайной величины. Оно приводит к новому понятию плотности вероятности и к новым определениям математического ожидания и дисперсии.

Хотя тема в основном имеет теоретический характер и не используется в задачах, предлагаемых в контрольных работах, без ее изучения нельзя освоить последующие темы.

Определение 1. Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

При описании непрерывной случайной величины принципиально невозможно выписать и занумеровать все её значения, принадлежащие даже достаточно узкому интервалу. Эти значения образуют несчётное множество, называемое «континуум».

Теорема 1. Вероятность любого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равно нулю.

Доказательство.

.

Следствие. Для непрерывной случайной величины Х справедливы равенства:

P(x₁ < X  x₂) = P(x₁ < X < x₂) = P(x₁  X < x₂) = P(x₁  X  x₂).

Пусть Х – НСВ. Рассмотрим для некоторого числа х вероятность P(х  Х  х + х) попадания НСВ на промежуток [х; х + х].

Средняя плотность вероятности на этом промежутке равна .

Очевидно, что если х  0, то P(х   Х   х + х)  0.

Определение 1. Плотностью вероятности НСВ в точке х называется предел , если такой предел существует.

Теорема 1. Плотность вероятности (x) непрерывной случайной величины Х равна производной ее функции распределения, т.е.

(x) = F (x).

Доказательство.

.

Свойства плотности вероятности (x) непрерывной случайной величины Х:

5. (x) – неотрицательная функция.

6. Вероятность попадания НСВ в промежуток [a;b] равна определенному интегралу от ее плотности вероятности в пределах от a до b , т.е. P(a  Х  b)= .

7. Функция распределения НСВ выражается через плотность вероятности по формуле

.

8. Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования от плотности вероятности НСВ равен единице, т.е. .

График плотности вероятности НСВ называется кривой распределения.

Понятия математического ожидания M(X) и дисперсии D(X), введенные для дискретной случайной величины X, можно распространить на непрерывные случайные величины.

Определение 2. Математическим ожиданием М(Х) непрерывной случайной величины Х называется несобственный интеграл (если интеграл абсолютно сходится).

Определение 3. Дисперсией D(Х) непрерывной случайной величины Х называется несобственный интеграл (если интеграл сходится).

Все свойства математического ожидания и дисперсии дискретных случайных величин справедливы и для непрерывных случайных величин.