3. Количественные аспекты анализа систем

Цель количественного анализа состоит в определении величины риска на­ступления нежелательного события, оценки эффективности различных меро­приятий, направленных на уменьшение риска, и выбора приемлемых реше­ний.

Количественный анализ за­ключается в определении вероятности наступления завершающего головного события после построения древовидной структуры, отвечающей цели анализа, с учетом вероятностей начальных (исходных) событий.

Количественную меру исходных событий выбирают на основе имеющейся стати­стики, проведением экспертных оценок или иными способами.

Вычисления проводят по всем ветвям древовидной структуры, используя следующие соотношения.

В случае операции «И» для n статистически независимых входных собы­тий вероятность появления выходного события определяется по правилу умно­жения вероятностей:

P_вых = P_вхi , (1)

где P_вых – вероятность реализации выходного события,

P_вхi – вероятность реализации i-го входного события,

n – число входных событий.

Для статистически независимых событий, объединённых операцией «ИЛИ», вероятность появления выходного события в общем случае имеет вид:

P_вых =1– (1–P_вхi) . (2)

В случае операции «Σ» вероятность реализации выходного события опре­деляется следующим образом:

P_вых = W_i P_вхi , (3)

где W_i – значимость (степень влияния входного события на выходное) i-го входного события.

При этом для операции «Σ» должно выполняться условие нормировки:

W_i =1. (4)

Для операции « —► » (причина - следствие) вероятность реализации выходного события имеет вид:

P_вых =W P_вх . (5)

Здесь W имеет смысл степени влияния причины на следствие. При этом:

1 ≥ W > 0 . (6)

При нескольких выходных событиях оцениваются степени влияния вход­ного события на каждое из выходных индивидуально.

Операция «определяющее событие» является своего рода условием возможности реализации каждого из двух альтернативных событий.

Поэтому ход рассуждений здесь следующий. Реализуется входное собы­тие с вероятностью P_вх. Определяющее событие имеет свою вероятность реа­лизации P_о.с.. Если в древовидной структуре проводится анализ причин появ­ления определяющего события, то вероятность его реализации рассчитывается также, как и для любого промежуточного события. В ином случае, к опреде­ляющему событию подходят как к исходному.

Вероятности выходных событий определяются по следующим соотноше­ниям:

P_вых1 = P_{о.с .} · P_вх ;

(7)

P_вых2 =(1 – P_{о.с .}) · P_вх , поскольку альтернативные выходные события образуют полную группу событий.

Таким образом, используя соотношения (1) – (7) для древовидной струк­туры любой протяженности, можно вычислить вероятность наступления голов­ного (или головных) события исходя из имеющихся вероятностей исходных со­бытий.

Для примера проведения количественного анализа воспользуемся древовидной структурой «Возможные финансово-экономические причины банкротства фирмы» (рис.2), выполненной студентом КГТУ им. А.Н. Туполева Салихзяновым Р.М. для раздела «БЖД» своей дипломной работы применительно к конкретной фирме, работавшей в 1998 году. При этом ограничимся показом приёмов проведения анализа и краткими комментариями.

Для начала, пронумеруем все события, представленные на рис.2, чтобы символам вероятностей присвоить индексы. Порядок нумерации событий произвольный, главное – не менять его в дальнейшем. Необходимо пронумеровать и операторы «совокупность событий», поскольку они оперируют с соответствующими значимостями входных событий.

Для удобства проведения анализа подготовим таблицу, куда будем заносить числовую информацию (см. таблицу 1). В данном случае, в строках таблицы располагаются вероятности событий, а информация в столбцах характеризует конкретный вариант положения дел в анализируемой фирме.

В данном случае, события с номерами 1, 2, 4, 6-10, 12, 13, 16, 17, 19, 21, 22 и 24 являются исходными и вероятности для них должны быть определены до проведения расчётов. Вероятности для них представлены в первом столбце таблицы (информация получена путём экспертных оценок для конкретной фирмы и конкретных условий её функционирования в 1998 году). Таким же путём были получены величины «значимостей» для конкретных событий, которые могли повлиять на состояние фирмы.

Возможная финансовая неустойчивость фирмы и её возможные неоправданные инвестиции могли влиять примерно одинаково и, поэтому, было принято, что W₂₀=W₂₆=0,5.

Возможное негативное влияние внешней среды на деятельность фирмы оказывала слабое влияние и поэтому W₁₉=0,1. А вот значимость событий 5 и 18 (см. табл.1) оценена так: W₅=W₁₈=0,45.

Нестабильность дохода от продаж влияла меньше, чем неправильное распределение прибыли: W₃=0,4; W₄=0,6.

Что касается соотношения событий 11 (увеличение конкурентов в отрасли) и 14 (высокий уровень инфляции), то их влияние оценено так: W₁₁=0,7; W₁₄=0,3.

В свою очередь, на событие 11 события – первопричины 8, 9 и 10 влияли следующим образом: W₈=W₉=0,4; W₁₀=0,2.

Далее, используя приведённые выше соотношения, запишем цепочку уравнений для проведения расчётов:

Р₃=Р₁+Р₂–Р₁*Р₂ ,

Р₄=Р₆+Р₇–Р₆*Р₇ ,

Р₅= W₃*Р₃ +W₄*Р₄ ,

Р₁₈=Р₁₆+Р₁₇–Р₁₆*Р₁₇ ,

Р₂₀= W₅*Р₅ +W₁₈*Р₁₈+W₁₉*Р₁₉,

Р₁₁= W₈*Р₈ +W₉*Р₉+W₁₀*Р₁₀,

Р₁₄=Р₁₂+Р₁₃–Р₁₂*Р₁₃ ,

Р₁₅= W₁₁*Р₁₁ +W₁₄*Р₁₄,

Р₂₃=Р₂₁+Р₂₂–Р₂₁*Р₂₂ ,

Р₂₅=Р₂₃+Р₂₄–Р₂₃*Р₂₄ ,

Р₂₆=Р₁₅+Р₂₅–Р₁₅*Р₂₅ ,

Р₂₇= W₂₀*Р₂₀ +W₂₆*Р₂₆ .

Результаты расчёта для первого варианта исходных данных представлены в табл.1. Видно, что вероятность банкротства фирмы велика (0,55) и определяющую роль в этом играют сочетания событий «неоправданные инвестиции» (Р₂₆=0,82).

Таблица 1