- •Типовой расчет “функции нескольких переменных” Основные понятия
- •Дифференцирование функций нескольких переменных Частные производные функции
- •Экстремумы функции
- •Контрольные варианты к задаче 2.
- •Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области d
- •Контрольные варианты к задаче 3.
- •Элементы скалярного поля
- •Контрольные варианты к задаче 4.
Типовой расчет “функции нескольких переменных” Основные понятия
Определение функции двух переменных , или .
Способы ее задания: аналитический, табличный, явный, неявный.
Область определения и область изменения функции . Классификация областей определения: открытая и замкнутая, ограниченная и неограниченная.
Геометрический смысл функции , или .
Пример 1. Найти область определения функции .
Решение. Функция z представляет собой сумму двух слагаемых функций: и . Найдем области их определения:
,
|
, |
|
|
Очевидно, область определения функции z есть пересечение областей определения , т. е. (рис. 1).
y
-2 0 2 x
Рис. 1 |
Ответ: D – область, отмеченная двойной штриховкой, замкнутая и неограниченная. |
Пример 2. Найти область определения функции .
Решение. z – логарифмическая функция, поэтому
y L
D С(-1, 0) 0 x
Рис. 2
|
Парабола разбивает всю плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю по отношению к параболе. Возьмем для контроля любую точку плоскости, например, О(0, 0), подставим |
ее координаты в первое неравенство: ; где D – область определения функции, открытая, неограниченная (рис.2).
Дифференцирование функций нескольких переменных Частные производные функции
а) первого порядка: ,
где - частное приращение z по х.
,
где - частное приращение z по y.
б) второго порядка: - вторая производная функции z по переменной x, т. е. частная производная по переменной х, взятая от частной производной первого порядка по переменной х.
- смешанная производная z по х и по у;
- смешанная производная z по у и по х.
Можно показать, что порядок дифференцирования безразличен, т. е. ;
- вторая производная функции z по переменной y.
Правило. Отыскивая частные производные функции нескольких переменных по одной из переменных, пользуемся правилами и формулами дифференцирования, считая в этот момент все остальные переменные постоянными.
Задача 1. Найти частные производные первого порядка следующих функций:
а) .
,
отыскивая , переменную у считаем постоянной.
,
отыскивая , переменную х считаем постоянной.
б) .
отыскивая , переменную у считаем постоянной.
отыскивая , переменную х считаем постоянной.
Пример 1. Доказать следующие тождества:
а) , если .
Решение. Найдем данной функции и подставим их в равенство, которое надо доказать:
отыскивая , переменную у считаем постоянной..
,
отыскивая , переменную х считаем постоянной.
Следовательно
что и требовалось доказать.
Пример 2. Найти и функции .
Решение
Ответ:
Пример 3. Найти частные производные второго порядка функции .
Решение.
Таким образом: , ,
Таким образом:
Заметим, что
Контрольные задания к задаче 1
ЗАДАНИЕ 1а. Найти и функции:
1. |
2. |
3. |
4. |
5. |
6. |
7. |
8. |
9. |
10. |
11. |
12. |
13. |
14. |
15. |
16. |
17. |
18. |
19. |
20. |
21. |
22. |
23. |
24. |
25. |
26. |
27. |
28. |
29. |
30. |
ЗАДАНИЕ № 1 б. Найти и функции:
1. |
2. |
3. |
4. |
5. |
6. |
7. |
8. |
9. |
10. |
11. |
12. |
13. |
14. |
15. |
16. |
17. |
18. |
19. |
20. |
21. |
22. |
23. |
24. |
25. |
26. |
27. |
28. |
29. |
30. |
Пример 4. Показать, что при .
Решение. Сначала найдем первые частные производные
Теперь находим смешанные вторые частные производные и сравниваем их.
Видим, что смешанные производные равны, что и требовалось показать.