18. Построить на числовой плоскости множества , , . Найти множество .
19. Существуют ли такие множества А, В, С, что АВ, АС= и (АB)\C=?
20. Определить (графически), в каком отношении (XY, YX, Y=X) находятся множества X и Y, если: 1) X=A(B\C); Y=(AB)\(AC); 2) X=(AB)\C, Y=(A\C)(B\C); 3) X=A\(BC), Y=(A\B)(A\C).
21. Проверить справедливость включения (AC)\B(A\B)C
22. Доказать, что .
23. Доказать, что .
24. Доказать, что . Доказать тождества
- исходя из определений операций;
- на основе законов алгебры множеств.
Проиллюстрировать доказательство диаграммами Венна.
25. .
26. .
27. .
28. .
29. .
30. .
31. Определить операции , , \ через: 1) и ; 2) и ; \ и . Определить (если это возможно) \ через и .
Доказать равенства:
32. .
33. .
34. .
35. .
36. .
37. .
38. .
39. .
40. .
41. .
42. Доказать, что сумма является полным квадратом.
Доказать неравенства:
43. .
44. .
45. .
46. .
47. .
48. .
49. .
Доказать делимость чисел:
50. .
51. .
52. .
53. .
54. .
55. .
56. Пусть положительные числа, такие, что . Доказать, что .
57. Пусть произвольные положительные числа. Доказать, что .
58. Пусть . Доказать, что .
59. Определить общий член последовательности, заданной рекуррентным соотношением , если а1=0.
60. Сколько подмножеств имеет n-элементное множество?
61. Доказать, что любую сумму денег, большую 7 копеек, можно разменять монетами по 3 и 5 копеек.
62. На плоскости проведено n прямых, из которых никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. На сколько частей они разбивают плоскость?
63. Доказать, что .
НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА
64. Пусть U – множество дней недели. Выступая в роли эксперта, запишите следующие нечеткие множества: – начало недели; – середина недели; – конец недели; – не начало, но и не конец недели. Есть ли среди определенных Вами функций принадлежности унимодальные?
65. Пусть – возможный возраст человека. Выступая в роли эксперта, постройте графики функций принадлежности следующих нечетких множеств: – молодой; – старый; – очень молодой; – не старый. Сравните полученные Вами графики с графиками Ваших коллег. Если есть различия, попытайтесь объяснить причины этих различий.
66. Пусть U – множество дисциплин, изучаемых в текущем семестре. Присвойте номер каждой дисциплине и, выступая в роли эксперта, запишите следующие нечеткие множества: – мне нравится эта дисциплина; – я не понимаю эту дисциплину; – мне не нравится эта дисциплина; – я бы хотел изучать эту дисциплину глубже. Представьте разложение каждого из нечетких множеств по уровням.
67. Пусть U – множество неотрицательных действительных чисел, на котором заданы функции принадлежности следующих нечетких множеств: ; ; ; . Для каждого из этих множеств требуется:
- построить график функции принадлежности;
- записать разложение по множествам уровня;
- записать приближенное дискретное разложение, разбив отрезок [0, 1] на пять равных частей.
68. Пусть U – цены автомобилей, 4≤u≤5000 (у.е.). Выступая в роли эксперта, постройте графики функций принадлежности следующих нечетких множеств: – цены автомобилей для среднего класса; – цены автомобилей для богатых людей; – цены автомобилей для небогатых людей. Для каждой кривой запишите функцию принадлежности аналитически. Запишите разложения по множествам уровня каждого из нечетких множеств. Запишите приближенное дискретное разложение, разбив отрезок [0, 1] на десять равных частей.
69. Даны нечеткие множества: и . Требуется:
- записать множества ; ;
- сделать два чертежа: на одном изобразить множества , на втором – множества ;
- вычислить индексы нечеткости по метрике Хемминга для всех шести множеств;
- вычислить индексы нечеткости по евклидовой метрике для всех шести множеств.
70. Пусть – нечеткое множество, заданное на множестве неотрицательных действительных чисел функцией принадлежности . Требуется:
- записать множества ;
- построить графики функций принадлежности множеств ;
- вычислить индексы нечеткости по метрике Хемминга для всех трех множеств;
- вычислить индексы нечеткости по евклидовой метрике для всех трех множеств.
71. На универсальном множестве заданы нечеткие множества , , . Найти множества ; ; ; ; ; ; ; ; . Привести графическую интерпретацию выполненных операций.
72. На универсальном множестве U=[0, 3] заданы нечеткие множества и . Требуется:
- построить графики функций принадлежности;
- записать множества ; ; ; ; ; и построить графики их функций принадлежности.
73. Доказать, что для операций над нечеткими множествами выполняются законы ассоциативности, идемпотентности, поглощения, действия с константами, де Моргана, но не выполняются закон противоречия и закон исключения третьего (свойства дополняемости операций пересечения и объединения), т.е. в общем случае справедливы соотношения ; .
74. Даны нечеткие числа: а – «немного больше 3» и b – «примерно 3», если и . Выполнить арифметические операции и сравнить нечеткие числа с дискретными носителями.
75. Пусть является носителем следующих нечетких чисел: a – «в городе К проезд на метро стоит приблизительно 8 руб.»; b – «проезд на маршрутке в этом городе стоит приблизительно 15 руб.»; c – «мне надо проехать на метро раз пять»; d – «мне надо проехать на маршрутке, по крайней мере, раза три». Требуется:
- выступая в роли эксперта, записать нечеткие числа a, b, c, d в форме объединения точечных нечетких множеств;
-найти нечеткое число х – «примерная сумма расходов на транспорт в городе К»;
- разложить нечеткие числа a, b, c, d и х по множествам α-уровня, если ;
- построить графики функций принадлежности чисел a, b, c, d и х.
76. Пусть: а – «немного больше 3» и b – «примерно 5», причем ; . Требуется:
- разложить нечеткие числа a, b по множествам α-уровня, если ;
- построить графики функций принадлежности этих чисел, используя полученные разложения;
- записать функции принадлежности и построить их графики для чисел ;
- сравнить числа a и b.
77. Доказать, что нечеткие числа a и b являются числами -типа, если ; . Выполнить над ними все арифметические операции и сравнить эти числа.
78. Прибыль коммерческой фирмы формируется из выручки трех магазинов и некоторой статьи расходов. При анализе продаж магазинов было установлено следующее:
- первый магазин в течение месяца обеспечивает уровень продаж на сумму от 40 до 100 тыс. руб. в зависимости от величины спроса, но с наибольшей вероятностью можно ожидать сумму от 50 до 70 тыс. руб.;
- второй магазин надежно обеспечивает высокий уровень продаж на сумму 100 – 110 тыс. руб.;
- третий магазин ненадежен и обеспечивает уровень продаж не более 20 тыс. руб. в месяц.
Расходы могут находиться в пределах от 50 до 100 тыс. руб. в месяц, но с наибольшей вероятностью составят 80 тыс. руб. Определить прибыль фирмы.