I.Ответьте на следующие вопросы:

1. Какие формулы логики высказываний называются логическими законами?

2. Дайте определение необходимых, достаточных, необходимых и достаточных условий. Приведите примеры.

3. Какие высказывания называются логически эквивалентными, противоречивыми, совместимыми, противоположными?

4. Что называется рассуждением?

5. Какое рассуждение называется логически корректным?

6. В каком случае формулу В называют логическим следствием формул (посылок) ?

7. Назовите законы алгебры высказываний, лежащие в основе различных методов доказательств.

8. Какое множество формул называется противоречивым (непротиворечивым)?

II.Выполните следующие упражнения:

1. Докажите, что следующие формулы являются тавтологиями (законами) алгебры высказываний:

1. – закон заключения;

2. , – закон удаления конъюнкции;

3. , – закон введения дизъюнкции;

4. – закон удаления дизъюнкции;

5. – закон введения двойного отрицания;

6. – закон удаления двойного отрицания;

7. – закон введения эквиваленции;

8. , – законы удаления эквиваленции;

9. – закон контропозиции;

10. – закон доказательства от противного;

11. – закон силлогизма;

12. – закон сложения посылок;

13. – закон умножения заключений.

2. Приведите примеры из курса школьной математики (различных курсов математики) доказательства теорем, рассуждений, основанных на правилах, соответствующих законах алгебры высказываний, которые перечислены в упражнении 1.

3. Сформулируйте в виде импликации или эквиваленции следующие истинные высказывания:

1. чтобы выполнялось A, необходимо, чтобы выполнялось B;

2. чтобы выполнялось A, достаточно, чтобы выполнялось B;

3. чтобы выполнялось A, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось В.

3. Сформулируйте следующие теоремы в виде необходимого (достаточного) условия:

1. если два треугольника конгруэнты, то их площади равны;

2. вертикальные углы равны;

3. в точке дифференцирования функция непрерывна;

4. число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9;

5. параллельные прямые центрально симметричны;

6. если два комплексных числа равны, то равны их действительные и мнимые части соответственно;

7. если сумма квадратов действительных чисел a и b равна нулю,

то a = 0 и b = 0;

8. если число делится на 2 и 5, то оно делится на 10;

9. диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

3. Вставить пропущенные слова (необходимо, достаточно, необходимо и достаточно) так, чтобы получились верные высказывания:

1. для того, чтобы две прямые были параллельными, …, чтобы они были перпендикулярны третьей прямой;

2. чтобы квадратный трехчлен разлагался на множители над R, …, чтобы его дискриминант был не меньше нуля;

3. чтобы функция была непрерывной в точке, …, чтобы ее предел и значение в этой точке были равны;

4. чтобы дифференцируемая функция возрастала на (a,b), …, чтобы ее производная на этом промежутке была неотрицательной;

5. чтобы сумма двух чисел была четной, …, чтобы каждое слагаемое было нечетным числом;

6. чтобы четырехугольник был ромбом, …, чтобы диагонали его были взаимно перпендикулярны;

7. чтобы углы были равны, …, чтобы их стороны были попарно параллельны;

8. чтобы четырехугольник был прямоугольником, …, чтобы его диагонали были равны;

9. чтобы плоскость α проходила через прямую a, перпендикулярно плоскости β, …, чтобы плоскости α и β были перпендикулярными;

10. чтобы множество A было подмножеством множества B, …, чтобы они были равны;

11. чтобы две плоскости были перпендикулярными, …, чтобы одна из них проходила через прямую, перпендикулярную другой плоскости;

12. чтобы множества A и B были равны, …, чтобы множество A было подмножеством B.

3. Установите, верны ли следующие высказывания:

1. чтобы углы были смежными, достаточно, чтобы они имели общую сторону.

2. чтобы углы были смежными, необходимо и достаточно, чтобы две стороны их были противоположными лучами;

3. чтобы построить окружность, достаточно иметь на плоскости три различные точки, не лежащие на одной прямой;

4. чтобы построить окружность определенного радиуса, необходимо иметь на плоскости три точки;

5. чтобы треугольники были подобны, необходимо и достаточно, чтобы их углы были равны;

6. чтобы , достаточно, чтобы ;

7. чтобы , необходимо и достаточно, чтобы ;

8. чтобы множество A, разбить на классы, достаточно на множестве A задать отношение эквивалентности;

9. чтобы система n линейных уравнений была совместной, необходимо, чтобы ранги основной и расширенной матриц были равны

3. Запишите высказывания обратные, противоположные, противоположно-обратные для следующих теорем. Укажите, какие из них верны и попарно равносильны:

1. Если в четырехугольнике две противоположные стороны конгруэнты и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм.

2. Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

3. Если треугольник равнобедренный, то два угла его равны.

4. Если каждое слагаемое суммы чисел кратно некоторому числу a, то и сумма кратна этому числу.

5. Если многочлен делится на , то .

6. Если многочлен нечетной степени с целыми коэффициентами, то он имеет хотя бы один действительный корень.

7. Если , , .

8. Если алгебраическая система группа, то операция ассоциативна.

9. Равные векторы имеют равные соответствующие координаты.

10. Диагонали квадрата равны.

9. Доказать, что формула В – логическое следствие посылок .

1. , , ;

2. , , ;

3. , , ;

4. , , ;

5. , , .

9. Выяснить, является ли формула В логическим следствием посылок .

1. , , ;

2. , , ;

3. , , ;

4. , , ;

5. , , , ;

6. , , ;

7. , , ;

8. , , , ;

9. , , ;

10. , , .

9. Найдите все следствия из посылок:

1. , ;

2. , ;

3. , ;

4. , ;

5. , ;

6. , ,

7. , ;

8. , ;

9. , , ;

10. , , .

9. Исследовать противоречивость следующих множеств формул.

1. , , ;

2. , ;

3. , ;

4. , ;

5. , , ;

6. , , ;

7. , ;

8. , , ;

9. , , ;

10. , , , .

9. Проверить, правильны ли следующие рассуждения:

1. Если студент много занимается, то он успешно сдает экзамен. Следовательно, студент, получивший на экзамене неудовлетворительно, занимался мало.

2. Если четырехугольный ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны.

Данный четырехугольник ABCD – ромб. Следовательно, диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны.

3. Для того, чтобы быть допущенным к экзаменам, необходимо получить зачет по логике. Я получу этот зачет, если научусь устанавливать непротиворечивость множества формул. Я этот способ не усвоил. Следовательно, я не буду допущен к экзаменам.

4. Если фигура есть параллелограмм, то противоположные стороны ее параллельны и заключены между другими параллельными сторонами.Если отрезки параллельных прямых заключены между другими параллельными прямыми, то они равны. Следовательно, если фигура параллелограмм, то противоположные стороны его равны.

5. Если из вершины прямого угла треугольника опустить перпендикуляр на гипотенузу, то образуются два треугольника, y которых два угла соответственно равны. Если в двух треугольниках два угла равны, то треугольники подобны.Если два треугольника подобны, то сходственные стороны их пропорциональны. Следовательно, если из вершины прямого угла треугольника опустить перпендикуляр на гипотенузу, то отрезки гипотенузы пропорциональны прилежащим катетам.

6. Если два числа равны, то равны и их кубы. Числа m и n равны. Следовательно, равно .

7. Если α и β – вертикальные углы, то они равны. Угла α и β – не вертикальные.

Углы α и β – противоположные углы параллелограмма. Следовательно, если α и β противоположные углы параллелограмма, то они равны.

8. В треугольнике ABC перпендикуляр AM, опущенный из вершины угла А на сторону ВС, делит угол А пополам. Следовательно, в треугольнике АВС АМ является высотой и биссектрисой.

9. Число a кратно 3 и 5. Следовательно, число а делится на 5

10. Число a равно , где . Следовательно, число а, натуральное и рациональное.

11. В рассматриваемых четырехугольниках диагонали в точке пересечения делятся пополам или взаимно перпендикулярны. Установлено, что диагонали ABCD не делятся пополам. Следовательно, диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны.

12. Число a равно 4. Следовательно, не верно, что

13. Неверно, что АМ не является биссектрисой угла А. Следовательно, АМ – биссектриса угла.

14. Параллельные прямые центрально симметричны и, обратно, центрально-симметричные прямые параллельны. Следовательно, прямые центрально симметричны в том и только том случае, когда они параллельны.

15. Два комплексных числа равны, если и только, если равны их действительные и мнимые части соответственно. Следовательно, если два комплексных числа равны, то равны их действительные и мнимые части соответственно.

16. Обозначим через А множество всех простых чисел. Предположим, что А конечно, т.е существуют такие простые числа , что . Легко видеть, что число имеет простой делитель не равный ни одному из чисел . Таким образом, . Следовательно, множество простых чисел бесконечно.

17. Если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный. Кроме того, равнобедренный треугольник будет и в том случае, если две его стороны равны. Следовательно, чтобы треугольник был равнобедренным, достаточно, чтобы два угла или две его стороны были равны.

9. Известно, что каждый из двух персонажей А и В является рыцарем, либо лжецом. Выясните, кто есть кто, если А высказывает следующее утверждение:

1. «По крайней мере один из нас лжец».

2. «Я лжец, а В не лжец».

3. «Или я лжец, или В рыцарь».

9. Известно, что каждый из А, B, C является либо рыцарем, либо лжецом. Установите, можно ли определить, кто есть кто по следующим высказываниям.

А: «Мы все рыцари».

В: «Ровно один из нас рыцарь».

9. Ключ от замка спрятан в одной из трех шкатулок (черной, белой, красной), на крышках которых сделаны надписи:

на черной: « ключ не в белой шкатулке»;

на белой: «ключ не в этой шкатулке»;

на красной: «ключ в этой шкатулке».

В какой шкатулке ключ, если известно, что из трех надписей на крышках, по крайней мере, одна истинна и, по крайней мере, одна ложна?

9. Студент после сдачи трех экзаменов: алгебры, геометрии, математического анализа высказал следующие утверждения:

Я сдал, по крайней мере, один экзамен на отлично. Если я сдал на отлично геометрию, а не алгебру, то я так же сдал на отлично и математический анализ.

Я сдал на отлично математический анализ и алгебру, либо не сдал на отлично ни одного из них. Если я сдал на отлично алгебру, то я также сдал на отлично и геометрию

Какой предмет он сдал на отлично?

Индивидуальные задания

Задание 1

Проверить корректность рассуждений:

1. Для того чтобы быть допущенным к экзаменам, необходимо получить зачёт по логике. Я получу этот зачёт, если научусь проверять правильность рассуждений с помощью алгебры высказываний. Я не понял этот способ. Следовательно, я не буду допущен к экзаменам.

2. Если человек говорит неправду, то он заблуждается или сознательно вводит в заблуждение других. Этот человек говорит неправду, но явно не заблуждается. Следовательно, он сознательно вводит в заблуждение других.

3. Если человек удовлетворён работой и счастлив в семейной жизни, то он не жалуется на судьбу. Этот человек жалуется на судьбу. Следовательно, либо он удовлетворён работой, но не счастлив в семейной жизни, либо счастлив в семейной жизни, но не удовлетворён работой.

4. Если данное явление психическое, то оно обусловлено внешним воздействием на организм. Если оно физиологическое, то оно также обусловлено внешним воздействием на организм. Данное явление не психическое и не физиологическое. Следовательно, оно не обусловлено внешним воздействием на организм.

5. Я пойду или в кино, на новую кинокомедию, или на занятия по логике. Если я пойду в кино, то я от всей души посмеюсь. Если я пойду на занятия по логике, то испытаю большое удовольствие от следования по путям логических рассуждений. Следовательно, или я от всей души посмеюсь, или испытаю большое удовольствие от следования по путям логических рассуждений.

6. Если Антон ляжет сегодня поздно, то утром он будет в нерабочем состоянии. Если он ляжет не поздно, то ему будет казаться, что он много времени теряет бесполезно. Следовательно, или Антон будет в нерабочем состоянии, или ему будет казаться, что он много времени теряет напрасно.

7. Если фирма B не будет выпускать новую продукцию, то и фирма A не будет её выпускать. Если же фирма B будет выпускать новую продукцию, то её же будут выпускать и фирмы A и C. Следовательно, фирма C будет выпускать новую продукцию, если это будет делать фирма A.

8. Для того чтобы сдать экзамен, мне необходимо достать учебник или конспект. Я достану учебник только в том случае, если мой приятель не уедет. Он уедет, только если я достану конспект. Следовательно, я сдам экзамен.

9. Если философ – дуалист, то он не материалист, если философ диалектик, то он не метафизик. Он материалист или метафизик. Следовательно, он не дуалист или не диалектик.

10. Если завтра будет снег, то я надену тёплую куртку, если рукав будет починен. Завтра будет снег, а рукав не будет починен. Следовательно, я не надену тёплую куртку.

11. Если кража совершена "по наводке", то у преступника был сообщник, а если был сообщник, то налицо преступная группа. Если же преступление совершено группой, то это — преступление с отягчающими обсто­ятельствами. Значит, если кража совершена "по наводке", то она — с отягчающими обстоятельствами.

12. Если N хороший адвокат, то он выиграет это дело. N вы­играл это дело. Значит, он хороший адвокат.

13. Лекция по логике может быть содержательной или за­нимательной. Если лекция содержательна — ее конспектируют, но не слушают, а если занимательна — ее слушают, но не конспектируют. Значит, лекции по ло­гике конспектируют, но не слушают или слушают, но не конспектируют.

14. Если лекции не интересны, то их плохо посещают. А когда лекции плохо посещают — учебная часть проверяет посещаемость. Если же учебная часть проверя­ет посещаемость, то ее инспектора перегружены работой. Значит, если лекции интересны, то инспектора учебной части не перегружены работой.

15. Человек или трус, или он протестует против незаконного обращения. Если человек не трус, то он отстаивает свои убеждения. Если человек не протестует против не­законного обращения, то он заслуживает такого обращения. Значит, или человек не отстаивает свои убеждения, или он не заслуживает незаконного обращения.

16. У вас может быть либо социализм, либо свободная эко­номика. Но вы не достигли социализма. Значит, у вас свободная экономика.

17. Если вы будете говорить правду, люди проклянут вас, а если будете лгать, то вас проклянут боги. Но вы можете только говорить правду или лгать. Значит, вас проклянут боги или люди.

18. На встрече присутствовали выпускники прошлых лет, преподаватели факультета, студенты. N — выпускник 2002 года. Значит, он не преподаватель факультета и не студент.

19. Чтобы быть допущенным к экзаменационной сессии, достаточно сдать все зачеты. N не допущен к экзаменационной сессии. Значит, он не сдал зачеты.

20. В бюджете возникнет дефицит, если не повысят пошлины. Если в бюджете возникнет дефицит, то государственные расходы на общественные нужды сократятся. Значит, если повысят пошлины, то государственные расходы на общественные нужды не сократятся.*

21. Если бы он ей не сказал, она ни за что бы не узнала. А не спроси она его, он бы и не сказал. Но она узнала. Значит, она его спросила.

22. Если он принадлежит к нашей компании, то он храбр и на него можно положиться. Он не принадлежит к на­шей компании. Значит, он не храбр или на него нельзя положиться.

23. Профсоюзы штата будут продолжать поддерживать губернатора, если он подпишет данный билль. А фермеры окажут ему поддержку, если он наложит на него вето. Губернатор либо не подпишет билль, либо не наложит на него вето. Значит, губернатор потеряет либо поддержку профсоюзов, либо поддержку фермеров.

24. Если не знаешь весь курс логики, то экзамен не сдашь. А если пропускаешь занятия, то не знаешь весь курс. Значит, если студент сдал экзамен по логике, то он не пропускал занятия.

25. Если он автор этого слуха, то он глуп или беспринципен. Он не глуп и не лишен принципов. Значит, не он автор этого слуха.

26. Если погода будет хорошей, то мы поедем за город завтра, а в противном случае — в следующее воскресенье. Погода хорошая. Значит, в следующее воскресенье мы не поедем за город.

27. Или этот предмет не сложен, или экзаменатор снисходителен. Если этот предмет интересен, то он сложен. Экзаменатор не снисходителен. Значит, этот предмет неинтересен.

28. Если цены возрастут, то политическая ситуация обострится, а если не возрастут, увеличится дефицит. Мы не допустим обострения политической ситуации. Значит, увеличится дефицит.

29. Если тело движется, то либо движение происходит в том месте, где тело находится, либо оно происходит там, где тела нет. Но движение не может происходить ни там, где тело находится, ни там, где тела нет. Значит, тело не может двигаться.

30. Чтобы сдать экзамен по логике, достаточно знать тему "Умозаключение", а знать эту тему можно только в том случае, если знаешь предыдущие темы. М. не знает предыдущих тем. Значит, он не может сдать экзамен по логике.

Задание 2

Доказать, что формула В – логическое следствие посылок .

№ варианта	Формулы:
	, , ;
	, , ;
	, , ;
	, , ;
	, , .

Выяснить, является ли формула В логическим следствием посылок .

№ варианта	Формулы:
	, ,
	, ,
	, ,
	, ,
	, , ,
	, , ;
	, , ;
	, , , ;
	, , ;
	, , .

Найдите все следствия из посылок:

№ варианта	Формулы:
	, ;
	, ;
	, ;
	, ;
	, ;
	, ,
	, ;
	, ;
	, , ;
	, , .

Занятие №3

Тема: Алгебра предикатов.