- •Глава 7 пограничный слой. Аэродинамический нагрев
- •Уравнения Навье–Стокса
- •Толщина пограничного слоя
- •Дифференциальные уравнения пограничного слоя в несжимаемой жидкости
- •Дифференциальные уравнения пограничного слоя в сжимаемом газе
- •Интегральное соотношение пограничного слоя
- •Расчет пограничного слоя на плоской поверхности в несжимаемой среде
- •Характеристики ламинарного и турбулентного пограничных слоев
- •Пограничный слой на плоской пластинке в сжимаемом газе
- •Аэродинамический нагрев. Уравнение теплового баланса
- •Пограничный слой на конусе в сверхзвуковом потоке
- •Контрольные вопросы и задания
Дифференциальные уравнения пограничного слоя в сжимаемом газе
Для установившегося плоскопараллельного потока сжимаемого газа в уравнениях Навье–Стокса (7.2) произведем оценку порядка величин членов этих уравнений для пограничного слоя несжимаемой жидкости. Тогда первое уравнение системы
после анализа порядков величин его членов упрощается и запишется следующим образом:
. (7.7)
Вторым уравнением системы (7.2) так же, как и для несжимаемой жидкости, можно пренебречь. Из него также следует, что , т. е. вновь возможна замена на .
Уравнение неразрывности для установившегося движения сжимаемой жидкости (3.1а) для плоского случая запишем как
. (7.7а)
Так как в уравнении (7.7) коэффициент вязкости является функцией температуры, то к записанным двум уравнения необходимо добавить уравнение энергии. После его преобразования с учетом малости членов получаем
, (7.7б)
где – коэффициент теплопроводности .
Таким образом, для установившегося движения сжимаемого газа в пограничном слое необходимо решать систему трех уравнений (7.7). Основные неизвестные в этой системе уравнений – . Так как , то можно считать известным. С помощью уравнения состояния плотность определится как , а коэффициенты вязкости и теплопроводности можно считать известными функциями температуры.
Решение дифференциальных уравнений пограничного слоя, как для сжимаемой, так и для несжимаемой жидкости, достаточно сложная процедура даже для простейших тел. В связи с этим используют приближенные методы решения задач пограничного слоя, основанные на рассмотрении интегрального соотношения, являющегося математическим выражением теоремы об изменении количества движения.
Интегральное соотношение пограничного слоя
Р ассмотрим установившийся плоский пограничный слой. Выделим в пограничном слое малый объем (рис. 7.5). Применим к данному объему теорему об изменении количества движения. Вычислим изменение количества движения в направлении оси ОХ за промежуток времени . Через грань в выделенный объем втекает масса , а через грань вытекает масса . Разность между ними равна .
На основании условия неразрывности такая же масса должна втекать в объем через верхнюю границу Эта масса вносит количество движения , где U – скорость потока на внешней границе пограничного слоя. Найдем изменение количества движения жидкости в выделенном объеме. Количество движения, вносимое через грань равно , а уносимое через – . Тогда полное изменение количества движения в объеме за время равно
.
Силы давления, действующие на грани , единичной протяженностью в направлении, перпендикулярном плоскости рисунка (рис. 7.5), в проекции на ось ОХ равны
, и .
Сумма проекций сил давления равна , а импульс сил . Кроме того, на грань действует сила трения, направленная против потока и оси ОХ:
Приравняв изменение количества движения жидкости в объеме суммарному импульсу от сил давления и трения, получаем
. (7.8)
Соотношение (7.8) называют интегральным соотношением пограничного слоя. Оно пригодно для изучения как ламинарного, так и турбулентного пограничных слоев. При использовании этого соотношения для решения задач необходимы два дополнительных уравнения (неизвестные ):
Закон распределения скорости по поперечному сечению пограничного слоя, который можно задать приближенно аппроксимирующей функцией.
Зависимость напряжения трения от изменения скорости по нормали к поверхности. Например, для ламинарного пограничного слоя можно использовать формулу Ньютона (1.1).
В результате подстановки выражений для и получаем обыкновенное дифференциальное уравнение, позволяющее определить толщину пограничного слоя.
Интегральное соотношение можно привести и к другому виду. Из уравнения Эйлера–Бернулли (см. гл. 3) запишем следующее:
.
Так как , то после подстановок в выражение (7.8) интегральное соотношение будет иметь вид
.
Первый интеграл, исходя из сопоставления с выражением для толщины вытеснения, можно записать как , а второй – через толщину потери импульса: . Таким образом, . Считая , получим
или
.
Введя в рассмотрение формпараметр, представляющий собой отношение толщины вытеснения к толщине потери импульса , получим
. (7.9)
В таком виде интегральное соотношение более удобно для расчета пограничного слоя около криволинейных поверхностей.