Примеры на применение уравнения Бернулли
Рассмотрим порядок применения уравнения Бернулли для нахождения установившегося течения газа через малое отверстие, для объяснения возникновения подъемной силы и оценки влияния сжимаемости.
Установившееся истечение газа из сосуда
через малое отверстие
Рассмотрим
истечение газа из сосуда неограниченных
размеров через малое отверстие с площадью
поперечного сечения
.
Параметры состояния внутри сосуда –
.
Определим расход
газа при установившемся характере
истечения. Обозначим через
давление, плотность и скорость газа на
выходе из отверстия. В качестве исходных
уравнений запишем следующее:
– условие
изоэнтропичности
,
откуда
;
– интеграл
Бернулли в виде
.
Тогда скорость истечения газа из сосуда через отверстие равна
,
а массовый расход газа через отверстие определится как
.
(3.32)
Определим,
при каком отношении давлений
массовый расход имеет максимальное
значение
.
Возьмем производную от выражения (3.32)
и приравняем ее к нулю:
.
Очевидно, что
максимальное значение расход газа имеет
тогда, когда полученная производная
обращается в нуль, т. е. когда сомножитель
в квадратной скобке последнего выражения
равен нулю. Отсюда получаем, что
,
или
,
т. е. максимум расхода достигается при
значении отношения давлений
.
Е
сли
мало отличается от давления окружающей
среды
,
то давление в струе газа на выходе из
отверстия устанавливается равным
и расход определяется по формуле (3.32).
Если далее уменьшать
(т. е.
),
то расход будет возрастать (рис. 3.2),
достигнув максимума при давлении
.
Дальнейшее понижение
в соответствии с формулой (3.32) должно
приводить к уменьшению расхода. В
действительности же, как показывают
эксперименты, расход остается постоянным
и равным максимальному расходу.
Следовательно, при величине
давление на выходе из отверстия всегда
равно
,
и
.
Элементарное объяснение возникновения
подъемной силы
Р
ассмотрим
обтекание профиля несжимаемой жидкостью
.
В передней критической точке О
(рис. 3.3) центральная струйка разветвляется
на две: ОАВ
и ОDВ.
Путь ОАВ
> ОDВ,
а частицы жидкости, разделившись в точке
О,
должны одновременно встретиться в точке
В
(в силу уравнения неразрывности). Тогда
средняя скорость движения частиц вдоль
верней части профиля должна быть больше,
чем вдоль нижней (
).
Воспользуемся
уравнением Бернулли для несжимаемой
жидкости
.
Записав его для верхней и нижней частей
профиля
получим, что
,
т. е. давление на нижней стороне профиля
больше, чем на верхней. Этот перепад
давления и приводит к появлению
равнодействующей, направленной вверх,
– подъемной силы.
Так
как
и OAB > ODB,
то циркуляция скорости по замкнутому
контуру вокруг профиля равна
,
т. е. еще раз подтверждается вывод, что
для создания подъемной силы необходимо,
чтобы Г
.
Оценка влияния сжимаемости
Выясним,
примерно до каких скоростей можно
рассматривать газ как несжимаемую
жидкость. Из уравнения Бернулли для
несжимаемой жидкости
расчетная формула для давления торможения
получается автоматически:
.
(3.33)
Определим
теперь давление торможения
по уравнению Бернулли, записанному с
учетом сжимаемости:
После преобразований формула для расчета
полного давления в сжимаемом газе
выглядит следующим образом:
.
Так
как влиянием сжимаемости можно пренебречь
только при достаточно малых числах
Маха, примем, что М << 1 и разложим
выражение для
по формуле бинома Ньютона:
+
Отсюда
и при
получаем выражение
,
которое представим в виде
,
(3.34)
где
Сравнивая формулы (3.33) и (3.34), можно
заметить, что
представляет собой погрешность,
отнесенную к скоростному напору, при
определении давления торможения без
учета сжимаемости. Темпы роста величины
погрешности с увеличением числа Маха
можно проследить по приведенным данным
(табл. 3.1).
Таблица 3.1