5.3. Метод Фурье для уравнения теплопроводности

Рассмотрим общую схему метода разделения переменных (Фурье) на примере краевых задач для неоднородного уравнения теплопроводности [3].

Решение краевых задач для уравнения теплопроводности методом Фурье. Сформулируем задачу об отыскании нестационарного температурного поля в тонком стержне длины , имеющем в начальный момент времени температуру , если на поверхностях и этого слоя происходит теплообмен с окружающей средой, имеющей нулевую температуру. Требуется найти решение линейного однородного параболического уравнения

(5.28)

удовлетворяющее при начальному условию

(5.29)

и однородными граничными условиями третьего рода

(5.30)

Следуя методу Фурье разделения переменных, нетривиальные решения уравнения (5.28), удовлетворяющие граничным условиям (5.30), будем искать в виде

. (5.31)

Подставив предполагаемую форму решения (5.31) в уравнение (5.28) и разделив переменные, получим

Поэтому функции и должны быть определены как решения дифференциальных уравнений

(5.32)

(5.33)

Граничные условия (5.30) с учетом (5.31) дают условия для функции в виде

(5.34)

Задача Штурма-Лиувилля (5.33), (5.34) имеет нетривиальные решения только при определенных, собственных значения , которые можно выразить через неотрицательные корни трансцендентного уравнения

, (5.35)

а соответствующие им собственные функции имеют вид

.

Квадраты норм этих функций

.

При для выражения (5.32) запишем общее решение

(5.36)

Подставив найденные функции и в выражение (5.31), получим частные решения уравнения (5.28), удовлетворяющие граничным условиям (5.30)

.

Составим формально ряд, членами которого являются функции :

. (5.37)

Функция удовлетворяет граничным условиям (5.30), так как этим условиям удовлетворяет каждый член ряда (5.37).

Определим коэффициенты так, чтобы выполнялось начальное условие. Подставляя ряд (5.37) в (5.29), получаем

. (5.38)

Это соотношение представляет собой разложение функции в ряд Фурье по системе ортогональных на отрезке собственных функций , а коэффициенты являются коэффициентами Фурье и определяются по формуле

. (5.39)

Можно показать, что если функция кусочно-непрерывная на отрезке , то ряд (5.37) с коэффициентами , определяемыми по формуле (5.39), удовлетворяет уравнению (5.28) в области , т.е. этот ряд сходится и его можно дифференцировать почленно дважды по и один раз по [4].

Рассмотрим задачу для неоднородного уравнения теплопроводности

(5.40)

с начальным условием

(5.41)

и граничными условиями

(5.42)

Решение этой задачи будем искать в виде ряда Фурье по системе собственных функций задачи на собственные значения (5.33), (5.34), т.е. в форме разложения

. (5.43)

считая при этом параметром.

Ряд (5.43) удовлетворяет граничным условиям (5.42). Поэтому функции следует определить так, чтобы ряд (5.43) удовлетворял уравнению (5.40) и начальному условию (5.41).

Учитывая полноту системы собственных функций, представим функции и в виде следующих рядов Фурье:

. (5.44)

где и — коэффициенты Фурье, определяемые по формулам

(6.45)

.

Подставляя предполагаемую форму решения (5.43) и разложение (5.44) для функции в уравнение (5.40) и заменяя при этом на , получаем

.

Это соотношение, а значит, и уравнение (5.40) будут удовлетворены, если все коэффициенты разложения равны нулю, т.е.

(5.46)

Из начального условия (5.41) с учетом (5.43) и (5.44) находим

,

откуда

. (5.47)

Таким образом, для нахождения искомой функции приходим к задаче Коши (5.46), (5.47) для обыкновенного линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка. Решение этой задачи может быть найдено методом вариации постоянной. Оно имеет вид

.

Подставляя функции , в разложение (5.43), находим решение исходной задачи (5.40)—(5.42) в следующей форме:

(5.48)

где и определены формулами (5.45).

Первое слагаемое в выражении (5.48) представляет собой решение краевой задачи для однородного уравнения (5.40), когда .