Бином Ньютона

Выбор с возвращением Число размещений с повторением

Имеется множество, содержащее n элементов, из которого берут k элементов, но с возвращением.(записывается в тетрадь, далее обсуждение совместное примера)

Пусть имеется множество элементов (a, b, c). Сколько можно образовать различных пар этих элементов (выбор с возвращением и порядок важен)?

(a,a), (a,b), (a,c)

(b,a), (b,b), (b,c) =>9 способов.

(c, a), (c, b), (c, c)

Знакомство с понятием перестановки с повторением. Разбор формул и наглядное применение их на примерах.

Перестановки с повторением

Множество состоит из n элементов. Порядок расположения элементов важен.

n₁ – элементы первого типа

n₂ – элементы второго типа

................................................

n_k – элементы k - ого типа

всего n элементов.

n₁+ n₂ +...+n_k= n

Тогда число различных перестановок из этих элементов:

Пример:

Сколько слов можно составить из букв: А, А, М, М?

Решение: n=4, n₁ – 2 буквы А, n₂ – 2 буквы М

способов

Сочетания с повторением

(Каждая формула и определение записывается и выделяется, для самостоятельного повторения изученного дома.)

Пусть имеются элементы n типов и из множества этих элементов выбирается k элементов, могут присутствовать элементы одного типа.

- число сочетаний с повторением.

Разбор примеров, совместная беседа и работа студентов у доски.

Пример:

В кондитерской имеются пирожные четырех типов. Нужно взять 11 пирожных разного типа

Решение:

n=4, n₁ – наполеон, n₂ – картошка, n₃ - эклер, n₄ - медовое

k=11 5 3 2 1

4 1 6 0

Примеры:

1. Сколько пятизначных номеров можно составить из девяти цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

Решение: Такие номера длиной 5, составленные из элементов множества из 9 элементов.

2. Сколькими способами можно переставить буквы в слове СТАТИСТИКА?

Решение: n=10, n₁ =2 (буква А встречается 2 раза), n₂ =2 (С), n₃=3 (Т), n₄=2 (И), n₅=1 (К)

3. Сколько существует треугольников, у которых длина каждой стороны принимает одно из значений 4, 5, 6, 7?

Решение: k=3(3стороны), n=4 (4 значения)

Находим сочетания с повторением:

4. _{Лифт останавливается на 10 этажах. Сколькими способами можно распределить между этими остановками 8 человек.}

5. _{Сколько различных «слов» в 5 букв можно составить из 26 букв латинского алфавита.}

_{Домашнее задание:}

1. Доказать рекуррентную формулу:

,

2. Используя Бином Ньютона получить формулы сокращенного умножения:

1. 

2. 

3. 

4. 

3. Сколько «слов» можно получить из букв слова МАТЕМАТИКА (в каждом слове все буквы).

4. Сколькими способами можно переставить буквы слова «перешеек» так, чтобы 4 буквы «е» не шли подряд?

Решение: Найдем все случаи перестановок

n=8, n₁=4(e)

Найдем случаи перестановок, когда 4 буквы «е» идут подряд.

1680-120=1560 способов, когда 4 буквы «е» не идут подряд.

5. Для автомобильных номеров используют 10 цифр и 28 букв, каждый номер состоит из 3 букв и 4 цифр. Какое число машин можно пронумеровать? (номеров с 4-мя нулями быть не должно).

Опрос по изученному материалу (на отдельных листочках)

1. Написать формулы правила суммы и произведения;

2. Дать определение размещения,

3. Дать определение слову перестановка.

4. Записать формулу числа перестановок ,написать формулы числа перестановок из n по m.

5. Написать формулу числа сочетаний с повторением.